概述
（六）弧微分、渐近线、曲率和曲率半径
1、弧微分
直角坐标系： d s = ( d x ) 2 + ( d y ) 2 = 1 + [ y ′ ( x ) ] 2 d x ds = sqrt{(dx)^2 + (dy)^2} = sqrt{1+[y'(x)]^2}dx ds=(dx)2+(dy)2=1+[y′(x)]2dx
极坐标系： d s = [ r ( θ ) ] 2 + [ r ′ ( θ ) ] 2 ds = sqrt{[r(theta)]^2 + [r'(theta)]^2} ds=[r(θ)]2+[r′(θ)]2
2、渐近线
有曲线 y = y ( x ) y=y(x) y=y(x)
1、铅锤渐近线 x = x 0 x=x_0 x=x0
若 x = x 0 x=x_0 x=x0是铅锤渐近线，则 x = x 0 x=x_0 x=x0是曲线y=y(x)的第二类无穷型间断点
2、水平渐近线 y = y 0 y=y_0 y=y0
若 y = y 0 y=y_0 y=y0是水平渐近线，则 lim x → + ∞ y ( x ) = b lim_{xto +infty}y(x)=b limx→+∞y(x)=b，或者 lim x → − ∞ y ( x ) = b lim_{xto -infty}y(x)=b limx→−∞y(x)=b
3、斜渐近线 y = k x + b y=kx+b y=kx+b
若 y = k x + b y=kx+b y=kx+b是斜渐近线，则 lim x → ± ∞ y ( x ) x = k lim_{x to pm infty} frac{y(x)}{x}=k limx→±∞xy(x)=k， b = lim x → ± ∞ y ( x ) − k x b = lim_{x to pm infty} y(x)-kx b=limx→±∞y(x)−kx
3、曲率和曲率半径
曲率：曲率是一个绝对值， α alpha α是曲线上任意一处的倾斜角
直角坐标系： K = ｜ d α ｜ ｜ d s ｜ = ｜ y ′ ′ ( x ) ｜ ( 1 + y ′ ( x ) ) 3 K = frac{｜d alpha｜}{｜ds｜} = frac{｜y''(x)｜}{sqrt{(1+y'(x))^3}} K=｜ds｜｜dα｜=(1+y′(x))3｜y′′(x)｜
参数方程： K = ｜ d α ｜ ｜ d s ｜ = ｜ x ′ ( t ) y ′ ′ ( t ) − x ′ ′ ( t ) y ′ ( t ) ｜ ( x ′ ( t ) + y ′ ( t ) ) 3 K = frac{｜d alpha｜}{｜ds｜} = frac{｜x'(t)y''(t)-x''(t)y'(t)｜}{sqrt{(x'(t)+y'(t))^3}} K=｜ds｜｜dα｜=(x′(t)+y′(t))3｜x′(t)y′′(t)−x′′(t)y′(t)｜
曲率半径：
R
=
1
K
R = frac{1}{K}
R=K1
4、函数作图的步骤
-
确定定义域、间断点、周期性、对称性
-
求一阶和二阶导数，并确定零点和不存在点
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确定单调性和极值、拐点和凸性
-
确定渐近线和特殊点
-
描点连线
判断间断点类型和求导是最核心的步骤
最后
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