剑指offer 第二版（Python3）--面试题10：斐波那契数列，青蛙跳台阶，青蛙变态跳台阶，矩形覆盖

第2章 面试需要的基础知识

  面试题4：二维数组中的查找

  面试题5：替换空格

  面试题6：从尾到头打印链表

  面试题7：重建二叉树

  面试题9：用两个栈实现队列

  面试题10：斐波那契数列

  面试题11：旋转数组的最小值

第3章 高质量的代码

第4章 解决面试题的思路

第5章 优化时间和空间效率

第6章 面试中的各项能力

第7章 两个面试案例

题目描述
  斐波那契数列:
    F(1)=1，F(2)=1, F(n)=F(n-1)+F(n-2)（n>=3，n∈N*）
  现在要求输入一个整数n，请你输出斐波那契数列的第n项（从0开始，第0项为0）。

解题思路
  暴力法就不介绍了。最常用解法是动态规划，这里递推式已经直接给出，编程时注意存储子问题解即可。
普通版：

class Solution:
    def Fibonacci(self, n):
        # write code here
        if n < 0:
            return None
        if n == 0 or n == 1:
            return n
        f = [0] * (n+1)
        f[0], f[1] = 0, 1
        for i in range(2, n+1):
            f[i] = f[i-1] + f[i-2]
        return f[-1]

  时间复杂度O(n)，空间复杂度O(n)。上述解法只能说基本合格，仔细分析存储空间，发现每个值用过一次后就不用了，因此一直保存就显得很浪费，所以可以从减少空间复杂度入手，优化代码。

优化版：

class Solution:
    def Fibonacci(self, n):
        # write code here
        if n < 0:
            return None
        if n == 0 or n == 1:
            return n
        pre, cur = 0, 1
        for i in range(2, n+1):
            temp = pre + cur
            pre = cur
            cur = temp
        return cur

  时间复杂度O(n)，空间复杂度O(1)。用pre,cur分别保存f(n-2),f(n-1)的值。实际上可以把temp变量也直接省掉，如下：

class Solution:
    def Fibonacci(self, n):
        # write code here
        if n < 0:
            return None
        if n == 0 or n == 1:
            return n
        pre, cur = 0, 1
        for i in range(2, n+1):
            cur, pre = pre + cur, cur
        return cur

  要注意的是需要考虑负数输入，因为题中只说了n是整数，而斐波那契数列中要求n>=0。

拓展训练

题目一：青蛙跳台阶
牛客网 跳台阶

  一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法（先后次序不同算不同的结果）。

解题思路
  和斐波那契数列一样，只是起始值略有不同。可以自己分析起始值。

实战

class Solution:
    def jumpFloor(self, number):
        # write code here
        if number < 0:
            return None
        if number <= 2:
            return number
        pre, cur = 1, 2
        for i in range(3, number+1):
            cur, pre = cur + pre, cur
        return cur

题目二：青蛙变态跳台阶
牛客网 变态跳台阶

  一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级……它也可以跳上n级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。

解题思路
动态规划：
  与前面题稍有不同，这里递推式如下：
      f(n)=f(n-1)+f(n-2)+……f(1)
如何保存好等式右边累加值是关键。

class Solution:
    def jumpFloorII(self, number):
        # write code here
        if number < 0:
            return None
        if number <= 1:
            return number
        pre_total = 1
        for i in range(2, number+1):
            cur = pre_total + 1
            pre_total = cur + pre_total
        return cur

  很多题目跳出计算机思维，使用数学方式可以更快得到结论。
数学法一：
  易知 ：
      f(n)=f(n-1)+f(n-2)+……f(1)
      f(n-1)=f(n-2)+……f(1)
  两式相减得f(n)=2f(n-1)。这种方法本质上还是动态规划，只不过利用数学方法使得递推式更简单了。代码如下：

class Solution:
    def jumpFloorII(self, number):
        # write code here
        if number < 0:
            return None
        if number <= 1:
            return number
        cur = 1
        for i in range(2, number+1):
            cur *= 2
        return cur

数学法二：
              f(n) = 2^n-1

  使用数学归纳法证明，因为：
              f(1) =1 = 2⁰;
              f(2)=2=2¹;
              f(3)=4=2²;
假设 f(n-1)=2^n-2成立，因为f(n)=2f(n-1)（前面已证明）,所以可得：
              f(n) = 2^n-1

class Solution:
    def jumpFloorII(self, number):
        # write code here
        if number <= 0:
            return 0
        return 2**(number-1)

题目三：矩形覆盖
  我们可以用21的小矩形横着或者竖着去覆盖更大的矩形。请问用n个21的小矩形无重叠地覆盖一个2*n的大矩形，总共有多少种方法？

解题思路
牛客网

1. n = 1 的时候
   只能横着覆盖，一种
2. n = 2 的时候
   可以横着和竖着覆盖，两种
3. n = 3 的时候
   第三级横着覆盖，用了一级，剩下 n = 2，有两种覆盖方法
   第三季竖着覆盖，用了两级，剩下 n = 1，有一种覆盖方法
   总共有 3 种
   …
4. n = n 的时候
   第 n 级横着覆盖，用了一级，剩下 n = n - 1，所以关注第 n - 1 种有几种覆盖方法
   第 n 级竖着覆盖，用了两级，剩下 n = n - 2，所以关注第 n - 2 种有几种覆盖方法

  实际上还是斐波那契数列，就看能不能从具体问题中抽象出来。

class Solution:
    def rectCover(self, number):
        # write code here
        if number < 0:
            return None
        if number <= 2:
            return number
        cur, pre = 2, 1
        for i in range(3, number+1):
            cur, pre = cur + pre, cur
        return cur

最后

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