算法来源文章《Bandit based Monte-Carlo Planning》，06年的ECML。建议想做游戏人机玩家的同学看看。相关的算法还有最大最小算法，alpha-beta算法等，而这些算法普遍存在不收敛，和应对超大搜索空间不足的问题。

1.多臂老虎机

多臂老虎机问题，简单来说，我有很多个老虎机，虽然都是老虎机但它们的中奖率采取的是不同的概率分布，现在我希望在有限次的摇臂过程中，获得最大的收益，我该怎么做呢？
最简单的想法肯定是，我对每一个老虎机都摇N次，根据大数定律，频率最终会等于概率。然后我就一个劲的去摇那个中奖概率最高的老虎机不就行了吗？
想法很好，但是实际上不可能给你那么多机会。那么多臂老虎机，本质上就是，在一个解空间中搜索最优解的过程，我们要找到一组选择序列，这个序列可以让我们收益最大化。

Monte-Carlo Planning

蒙特卡洛的算法有很多，最熟悉的恐怕就是通过正方形内切圆，根据采样去计算π。蒙特卡洛算法有一个特点，就是抽样（或者说搜索）越多，那么我们获得最优解的可能性就越高。
以下就是蒙特卡洛搜索算法的伪代码。

我们可以看到，这种搜索算法本质上就是启发式搜索，一种沿着子节点递归的一个过程。
1.在实际运行中，若子节点非常多的时候，它会采取一种选择策略（均匀采样）从所有可能的actions（因为action非常多，所以不能一一遍历，只能选择部分）中，选出部分candidate actions。
2.在candidate actions中，为了选出能带来最大收益的action，它必须对action进行一个一一评估的过程，即求$Reward(v_i)$。
3.但是求$Reward(v_i)$，不是仅仅只考虑当前所选择的action，还要考虑选择了这个action之后，当前的state会到一个什么样的新状态，这个新状态又会带给我们多大的未来收益呢？
4.选择一个能够给我们带来未来最大收益即红利（ps：不是当前最大收益）的action，作为我们的最终选择。然后递归1~4的步骤。

首先，如果这里我们选择了当前最大收益的action作为我们下一步的话。这个搜索算法就退化为了贪心的算法，首先贪心的算法很容易早熟，而且不容易求的最优解。而蒙特卡洛法呢，通俗来说，就是我们下棋过程中的一步看三招，启发因子是action未来可以带给我们的最大收益。而伪代码中的depth就可以理解为，这个未来是有多远，depth越深看的越远，但是算法复杂度也指数上升。
这个搜索算法因此完全符合蒙特卡洛性质，通过随机地，递归地选择candidate action，来找到最大红利，来获取近似的最优解

UCT

UCT是一个基于UCB和蒙特卡洛的改进版本的搜索算法。
蒙特卡洛搜索选择下一个臂，存在的问题。

1. 选择下一个臂，只基于当前臂的评估表现，而不考虑之前此臂的表现，和这个臂被拉的次数
2. 蒙特卡洛搜索，面对臂数特别多的情况下，搜索具有很强的随机性
3. 蒙特卡洛搜索不使用超参，这意味着我们不能给模型一个先验条件。
   此外还有一点，蒙特卡洛算法在选择candidate actions，是随机挑选的
   挑选的节点服从均匀分布，所以说蒙特卡洛在选择candidate actions集合的时候，具有很强的随机性。而当action非常多的时候，少量的actions中很难找到更优的解。

UCT的改进之处：

1. 选择下一个臂：
   I t = arg ⁡ max ⁡ i ∈ { 1 , . . . , k } { X ˉ i , T i ( t − 1 ) + c t − 1 , T i ( t − 1 ) } I_t = mathop{argmax_{iin{1,...,k}}}{{bar{X}_{i,T_i(t-1)} + c_{t-1,T_i(t-1)}}} It​=argi∈{1,...,k}max​{Xˉi,Ti​(t−1)​+ct−1,Ti​(t−1)​}
   这里${\bar{X}}_{i,T_i(t-1)}$是过去i这个臂带来的平均红利，如此我们可以参考此臂之前的表现，而不是当前此臂的带来红利。除此之外，我们只需要选一个臂，而不是以前的candidate actions集合。这在应对大规模搜索的时候，非常有效。
2. $$c_{t,s}=2C_p\sqrt{\frac{\ln t}{s}}$$
   这里$C_p$是一个超参，可以是我们在exploit和explore之间进行调整，如果设为0，此算法直接退化为一个贪心算法，贪心度量为过去平均表现最好的臂，如此会很快收敛，而且也找不到更优解。其次$t$和$s$分别代表，臂i被选中的次数，和一共选臂的总数。即臂i在过去被选中的次数越多$c_{t,s}$越小。
   $$\mathrm{P}(\overline{X_{is}}\ge {\mu }_i+c_{t,s})\le t^{-4}$$
   $$\mathrm{P}(\overline{X_{is}}\le {\mu }_i+c_{t,s})\ge t^{-4}$$
   至此我们可以看到${\bar{X}}_{i,T_i(t-1)}+c_{t-1,T_i(t-1)}$计算的就是一个$\bar{X}$的最大上限区间。如若臂i在过去被选中的次数多，则我们对$\bar{X}$比较确信，所以置信区间窄，所以最大置信度区间上限相对小。如若臂i在过去被选中的次数少，则我们对$\bar{X}$不确信，所以置信区间宽，所以最大置信度区间上限相对大，更容易选中。所以UCT算法给予过去表现不好的臂，一定几率翻身的机会。
3. UCT 改进之后的特点:
   1. 综合考虑了过去的拉臂带来的影响。比如，过去拉臂次数多且收益多的臂，置信度上限区间会很大，很容易被再次选中。
   2. 通过Cp超参数，可以调整模型在“探索”和“采用”之间的平衡，避免模型早熟。
   3. 比起蒙特卡洛搜索算法，只用搜一个节点的子空间，不用再搜索其它节点的子空间，搜索效率上获得了很大的提高。
      UCT 实验结果：
      UCT可以在更快的迭代次数内收敛到目标错误率，而MMMC，和MC不能收敛。

最后

以上就是洁净小懒虫为你收集整理的上限置信度区间算法(UCT)1.多臂老虎机的全部内容，希望文章能够帮你解决上限置信度区间算法(UCT)1.多臂老虎机所遇到的程序开发问题。

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