强化学习の学习笔记（一）——多臂老虎机、ε-greedy策略、乐观初始值、增量式实现、梯度赌博机

前言

因为毕设的关系，要学习点强化学习的内容。我采用的教材是Richard S. Sutton/Andrew G. Barto著，俞凯等译的《强化学习（第2版）》。

符号约定

一般来说，大写符号代表随机变量，小写符号代表随机变量的一次具体实现。

• $A_t\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}$ 在时刻 $t$ 采取的动作（ $A$ 意味着action）
• $R_t\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}$ 该动作对应的收益（ $R$ 意味着reward）
• 具体动作 $a$ 对应的估计价值为 $Q_t\left(a\right)$
• 具体动作 $a$ 对应的真实价值为 $q_{\ast }\left(a\right)$ ，该价值是给定动作 $a$ 收益的期望：

$$q_{\ast }\left(a\right)\stackrel{\cdot }{=}\mathbb{E}\left[R_t|A_t=a\right]\text{\hspace{1em}(0.1)}$$

举个例子，你今天是否去买彩票记为 $A_{\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{a}\mathrm{y}}$ ，记买彩票这个行为为 $do$ ，不买彩票这个行为为 $not$ 。

假设这个时候有一个上帝视角的人，它知道你今天买彩票 $买$ 或者不买彩票 $不买$ 这个行为的真实期望收益为

$$\{\begin{array}{ll}{q}_{\ast }\left(买\right)& \stackrel{\cdot }{=}\mathbb{E}\left[R_{今天}|A_{今天}=买\right]\\ q_{\ast }\left(不买\right)& \stackrel{\cdot }{=}\mathbb{E}\left[R_{今天}|A_{今天}=不买\right]\end{array}\text{\hspace{1em}(0.2)}$$

然而，虽然旁观者清，但你当局者迷，你只能对 $q_{\ast }\left(买\right)$ 、 $q_{\ast }\left(不买\right)$ 进行估计，得到估计期望收益为 $Q_{今天}\left(买\right)$ 、 $Q_{今天}\left(不买\right)$ 。然后你根据估计的期望收益进行行动。

多臂老虎机

我们假设有两个老虎机，并已知老虎机甲的收益分布是均值为 $500$ ，方差为 $100$ 的正态分布；另一个老虎机乙的收益分布是均值为 $550$ ，方差为 $200$ 的正态分布。那么，如果将均值作为价值，那么

$$\{\begin{array}{l}{q}_{\ast }\left(甲\right)=500\\ q_{\ast }\left(乙\right)=550\end{array}\text{\hspace{1em}(1.1)}$$

显然， $q_{\ast }\left(甲\right)<q_{\ast }\left(乙\right)$ ，我们无脑选择后者就完事了。全书完——

$⋮$

骗你的啦——

基于平均学习Q函数

这里的问题在于：现实中我们不知道真实的收益概率分布 $R_t$ ，天底下哪有这种好事啊。那么我们自然得不到 $q_{\ast }\left(a\right)$ 。因此，强化学习干的就是这样一件事情——通过数据去学习收益概率分布，用学到的结果得到估计值 $Q_t\left(a\right)$ 。

那么，怎么学习 $Q_t\left(a\right)$ 呢？最简单的办法就是多次测量取平均值咯。

$$Q_t\left(a\right)\stackrel{\cdot }{=}\frac{t\text{时刻前通过执行动作}a\text{得到的收益和}}{t\text{时刻前执行动作}a\text{的次数}}\text{\hspace{1em}(1.2)}$$

或者这么写可能会看得更清楚些，其实就是把每次选择 $a$ 的收益加起来取平均。

$$Q_t\left(a\right)\stackrel{\cdot }{=}\frac{{\sum }_{i<t\text{且}{A}_i=a}{R}_i}{{\sum }_{i<t\text{且}{A}_i=a}1}\text{\hspace{1em}(1.3)}$$

那么，最简单的选择策略就是：无脑选择价值更高的就行了。这也被称为贪心策略，这个名字很形象，就好像一个小孩，永远只看重眼前的利益，永远选择当下收益最高的办法。

ε-greedy策略

看起来事情是如此地美好，我们似乎已经完全解决了多臂老虎机的问题了。但是啊，人之所谓成熟，就是眼光更长远，不能只为眼前利益所动。按照之前的贪心策略，我们开始兴冲冲地开始跑代码，然后可能会遇到一个诡异的情况。

回顾下问题描述：
已知老虎机甲的收益分布是均值为 $500$ ，方差为 $100$ 的正态分布；另一个老虎机乙的收益分布是均值为 $550$ ，方差为 $200$ 的正态分布。

因为收益是随机的，假设乙第一次很倒霉，第一次的收益是 $350$ ，估计值 $Q_t\left(乙\right)=350$ 。

然后后面抽甲，甲稳定在 $400-600$ 浮动，于是估计值 $Q_t\left(甲\right)⩾400$ 。

这下就惨了，虽然乙均值很高，但是第一次倒霉，导致我们总有 $Q_t\left(甲\right)>Q_t\left(乙\right)$ ，所以总选择估计价值高的甲。然而实际上乙的期望收益更高，这样就埋没了人才，很不好。

那么怎么办呢？我们还是要偶尔给乙一点秀一下自己的机会。具体落实下来就是以 $\epsilon$ 的概率不按常理出牌，假设此时 $Q_t\left(甲\right)>Q_t\left(乙\right)$ ，但在 $\epsilon$ 概率下，诶，但这波我们就是不按常理出牌，就是玩，我们就是要选择估计价值更低的乙。

一般来说， $\epsilon$ 都是一个比较小的数字，比如 $\epsilon =0.1$ ，那么平均下来，十次就会有一次不按常理出牌。因为总体而言还是贪心策略，但是以 $\epsilon$ 的概率不按常理出牌，所以被称为 $\epsilon -\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{e}\mathrm{d}\mathrm{y}$ 策略。

乐观初始值

对于多臂老虎机问题，我们遇到了埋没了人才乙的问题。除了 $\epsilon -\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{e}\mathrm{d}\mathrm{y}$ 策略，还有其他办法能解决吗？当然是有的。一个简单的方法就是乐观初始值，如果我们不知道初始值，我们就将“最乐观”的情形设置为初始值。比如将 $1000$ 设置为初始值，即使乙有一次很倒霉，遇到了 $350$ ，由于乐观初始值，乙总是有着出手的机会。

乐观初始值在平稳问题下比较有效，但对于非平稳问题，就不那么适合了。下面我们即将讨论非平稳问题。

增量式实现

前面还有一个问题，我们应当如何计算 $Q_t$ ？

为了简化问题，我们只关注一个动作 $a$ ，假设第 $i$ 次选择动作 $a$ ，收益是 $R_i$ ，那么按照直接平均的策略，那么——

$$Q_n\stackrel{\cdot }{=}\frac{R_1+R_2+\cdots +R_{n-1}}{n-1}\text{\hspace{1em}(1.4)}$$

这样明显很傻，因为我们要储存 $n-1$ 个过去的状态，既费时间也费空间。我们完全可以只关注 $Q_{n+1}$ 和 $Q_n$ 的差量——

$$\begin{array}{rl}{Q}_{n+1}& =\frac{R_1+R_2+\cdots +R_{n-1}+R_n}{n}\\ & =\frac{n-1}{n}\frac{R_1+R_2+\cdots +R_{n-1}}{n-1}+\frac{R_n}{n}\\ & =\frac{n-1}{n}{Q}_n+\frac{R_n}{n}\\ & =Q_n+\frac{1}{n}\left(R_n-Q_n\right)\end{array}\text{\hspace{1em}(1.5)}$$

也就是说，每来一个新状态 $R_n$ ，我们只需要把差量加权 $\frac{1}{n}\left(R_n-Q_n\right)$ 更新到原状态即可，通项公式即

$$Q_{n+1}\leftarrow Q_n+\alpha \left[R_n-Q_n\right],\alpha =\frac{1}{n}\text{\hspace{1em}(1.6)}$$

或者更明确地

$$\text{新估计值}\leftarrow \text{旧估计值}+\text{步长}\times \left(\text{目标}-\text{旧估计值}\right)\text{\hspace{1em}(1.7)}$$

那么问题来了，步长 $\alpha$ 一定只能是 $\frac{1}{n}$ 吗？

如果步长为 $\frac{1}{n}$ ，意味着每次试验的权重相同。那么假设我们要预测股票这种实时性很强的东西（非平稳问题），希望更注重当前的状态，不那么重视过去的状态，就可以调大步长以加大最新内容的权重，比如最简单的就是把步长当作常数，此时的公式即

$$\begin{array}{rl}{Q}_{n+1}& =Q_n+\alpha \left[R_n-Q_n\right]\\ & =\alpha R_n+\left(1-\alpha \right)Q_n\end{array}\text{\hspace{1em}(1.8)}$$

我们发现了递推公式，递推 $n$ 次自然得到

$$\begin{array}{rl}{Q}_{n+1}& =\alpha R_n+\left(1-\alpha \right)Q_n\\ & =\alpha R_n+\alpha \left(1-\alpha \right)R_{n-1}+\cdots +\alpha {\left(1-\alpha \right)}^{n-1}{R}_1+{\left(1-\alpha \right)}^n{Q}_1\\ & ={\left(1-\alpha \right)}^n{Q}_1+\alpha \sum _{i=1}^n{\left(1-\alpha \right)}^{n-i}{R}_i\end{array}\text{\hspace{1em}(1.9)}$$

可以看到，这是一个加权平均，越新的数据权重越高。我们取一个最极端的情形 $\alpha =1$ ，这意味着 $Q_{n+1}=R_n$ ，这个网络变成了鱼的记忆(X)，永远只能记住最近的数据，以前的数据都会被遗忘。

梯度赌博机

基于平均的估计太low了，我们自然的想法就是——能不能基于神经网络的梯度更新的方法进行更新。

此时我们关心的不再是每个动作的绝对收益 $Q_t\left(a\right)$ ，而是他们的相对值 $H_t\left(a\right)$ 。假设有动作 $a_1,a_2,\cdots ,a_n$ ，因为是相对值，所以它们的和为 $0$ ，类似于零和博弈，即

$$\sum _{i=1}^n{H}_t\left(a_i\right)=0\text{\hspace{1em}(2.1)}$$

我们借鉴softmax的思想，定义选择动作 $a_k$ 的概率为

$${\pi }_t\left(a_k\right)\stackrel{\cdot }{=}\frac{\exp \left[H_t\left(a_k\right)\right]}{{\sum }_{i=1}^n\exp \left[H_t\left(a_i\right)\right]}\text{\hspace{1em}(2.2)}$$

每次假设 $t$ 时刻动作 $a_k$ 后的收益为 $R_t$ ，此前的平均收益为 ${\bar{R}}_t$ ，则按照如下方式更新

$$H_{t+1}\left(a_i\right)\leftarrow \{\begin{array}{ll}{H}_t\left(a_i\right)+\alpha \left(R_t-{\bar{R}}_t\right)\left[1-{\pi }_t\left(a_i\right)\right],& i=k\\ H_t\left(a_i\right)-\alpha \left(R_t-{\bar{R}}_t\right){\pi }_t\left(a_i\right),& i\ne k\end{array}\text{\hspace{1em}(2.3)}$$

至于这里的系数是怎么来的，其实这里是类似于梯度上升推导而来的。考虑梯度上升公式

$$H_{t+1}\left(a\right)\leftarrow H_t\left(a\right)+\alpha \frac{\partial \mathbb{E}\left[R_t\right]}{\partial H_t\left(a\right)}\text{\hspace{1em}(2.4)}$$

结合 $\mathbb{E}\left[R_t\right]={\sum }_x{\pi }_t\left(x\right)q_{\ast }\left(x\right)$ ，自然有——

$$\begin{array}{rl}\frac{\partial \mathbb{E}\left[R_t\right]}{\partial H_t\left(a\right)}& =\sum _x\frac{\partial {\pi }_t\left(x\right)q_{\ast }\left(x\right)}{\partial H_t\left(a\right)}\\ & =\sum _x\left[q_{\ast }\left(x\right)-B_t\right]\frac{\partial {\pi }_t\left(x\right)}{\partial H_t\left(a\right)}\end{array}\text{\hspace{1em}(2.5)}$$

这里为什么我们要引入一个 $B_t$ 呢？是因为我们希望结果的均值尽可能为 $0$ ，这样才公平。因为假设大家都是正收益的话，梯度永远是正的。我们希望平均梯度为 $0$ ，形成零和博弈，从而有

$$\begin{array}{rl}\frac{\partial \mathbb{E}\left[R_t\right]}{\partial H_t\left(a\right)}& =\sum _x{\pi }_t\left(x\right)\left[q_{\ast }\left(x\right)-B_t\right]\frac{\partial {\pi }_t\left(x\right)}{\partial H_t\left(a\right)}\frac{1}{{\pi }_t\left(x\right)}\\ & =\mathbb{E}\left[\left(R_t-{\bar{R}}_t\right)\frac{\partial {\pi }_t\left(a_k\right)}{\partial H_t\left(a\right)}\frac{1}{{\pi }_t\left(a_k\right)}\right]\end{array}\text{\hspace{1em}(2.6)}$$

结合softmax的求导公式

$$\frac{\partial {\pi }_t\left(a_k\right)}{\partial H_t\left(a\right)}=\{\begin{array}{ll}{\pi }_t\left(a_k\right)\left[1-{\pi }_t\left(a_k\right)\right],& i=k\\ -{\pi }_t\left(a_k\right)\cdot {\pi }_t\left(a_k\right),& i\ne k\end{array}\text{\hspace{1em}(2.7)}$$

自然有 $\left(2.3\right)$ 式成立。

最后

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