美式期权与欧式期权

假设我们有一个美式看涨期权，一个欧式看涨期权。美式看涨期权的最后一个行权日和欧式期权的行权日一致 (我们假设这个日期为 $T$)，但美式期权也可以在 $T$ 时刻之前的任意时刻行权。大家是不是觉得美式期权所给的权利多一些，应该贵一些呢？然而答案是反直觉的 — 美式看涨期权和对应的这个欧式看涨期权一样贵。这说明美式期权多出来的这些行权权利并没有任何价值。理性的投资者不应该在最后的行权日前提前行权。这是为什么呢？当你行权的时候，你必须交strike规定的价钱来得到股票。而如果你不提前行权的话这笔钱你可以留着，放到银行拿利息。在最后的行权日，你把钱拿出来行权，你照样可以拿到这个股票。与此同时，你又多拿了利息。

这个想法用数学公式证明的话就是如下的思路

• $e^{-rt}S(t)$ is a martingale under risk neutral measure, i.e. its expected value does not rise or fall as time goes by
• $-e^{-rt}K$'s value increases over time due to discounting
• Combining the above two gives $e^{-rt}(S(t)-K)$'s value increases over time, i.e. it is sub-martingale ($E[e^{-rt}(S(t)-K)|t_0]\ge e^{-r{t}_0}(S(t_0)-K)$ for any $t\ge t_0$).
• Jensen’s inequality gives $E[e^{-rt}(S(t)-K{)}^{+}|t_0]\ge (E[e^{-rt}(S(t)-K)|t_0]{)}^{+}$. Combining this with the above gives $E[e^{-rt}(S(t)-K{)}^{+}|t_0]\ge e^{-r{t}_0}(S(t_0)-K{)}^{+}$.

The option value discounted back to time 0, i.e., $e^{-rt}(S(t)-K{)}^{+}$ keeps increasing over time, why would you exercise early? : )

最后

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