引言

本节将介绍降维算法，并介绍降维算法的相关背景。

回顾：过拟合

我们在正则化介绍与岭回归一节中介绍了正则化的基本思想，正则化操作通过约束模型参数$\mathcal{W}$的取值来处理过拟合现象。在线性回归任务中，基于岭回归的最小二乘估计公式表示如下：
$$\mathcal{L}(\mathcal{W})=\sum _{i=1}^N||{\mathcal{W}}^T{x}^{(i)}-y^{(i)}|{|}^2+\lambda ||\mathcal{W}|{|}_2^2$$
从本节开始，将介绍从降维角度去处理过拟合问题。

维度灾难

从数值角度观察维数灾难

如果我们使用线性回归或者线性分类 处理相关任务时，样本自身维度过高会给机器学习过程带来什么样的影响？

收到最直接影响的是维度灾难(Curse of Dimensionality)：在涉及向量计算的问题时，随着维数的增加，计算量呈指数倍增长的现象。

• 这种现象在样本数据充足的情况下，通常表现为机器学习过程中，由于计算机的算力和内存有限，从而需要更长的时间去执行任务。

• 其次，在样本有限的情况下，较高的样本维度可能导致 样本空间内的样本分布过于稀疏。实际上，每增加一个维度，需要增加指数倍的样本数量来维持样本分布不稀疏 的状态。

• 相反，如果针对稀疏样本执行机器学习任务，最终可能导致过拟合的产生。

为什么每增加一个维度，就需要增加指数倍的样本数量？举一个简单例子：

假设存在一组样本数据，该数据共包含2个特征，并且每个特征均服从伯努利分布，此时的样本可能存在如下几种情况：

此时，我们至少需要4个样本才能描述完整特征空间。此时，若增加一个维度，增加的维度同样满足伯努利分布，那么我们 需要多少样本才能完整描述特征空间？
自然是：$2^3=8$个样本：

此时，相比于2个特征的样本空间，3个特征的样本空间需要比之前多整整一倍的样本，才能完整描述特征空间。

同理，如果再次增加特征空间的维度，我们不得不再次使用 至少比上一次多一倍的样本数量来描述样本空间。但实际情况，样本特征可能是离散，也可能是连续，特征空间的复杂程度更加复杂，因而 需要的样本数量只多不少。

从几何角度观察维度灾难

示例1

在2维特征空间中存在一个特殊的特征空间，该特征空间的形状是边长为1的正方形，在该特征空间中包含两类样本：

• 在正方形中内嵌一个直径为1的圆，第一类样本在圆围成区域的内部；
• 而第二类样本在圆围成区域的外部；

具体描述如下图所示：

• 假设样本在该正方形区域中均匀分布，从该特征空间中进行采样，采样结果属于红色区域的概率 表示如下：
  $${\mathcal{P}}_{red}=\frac{{\mathcal{S}}_{circular}}{{\mathcal{S}}_{square}}=\frac{\pi \times (0.5{)}^2}{1^2}=\frac{\pi }{4}$$
  同理，采样结果属于橙色区域的概率 表示如下：
  $${\mathcal{P}}_{orange}=\frac{{\mathcal{S}}_{square}-{\mathcal{S}}_{circular}}{{\mathcal{S}}_{square}}=1-\frac{\pi }{4}$$

• 如果样本数量依然是均匀分布，但是将维度增加一维——意味着特征空间由正方形变成了正方体，圆也变成了球，此时我们再次对增加一维后的特征空间进行采样，采样结果属于 红色区域的概率 表示如下：
  $${\mathcal{P}}_{red}^{\prime }=\frac{{\mathcal{V}}_{spherome}}{{\mathcal{V}}_{cube}}=\frac{\frac{4}{3}\times \pi (0.5{)}^3}{1^3}=\frac{\pi }{6}$$

  发现一个问题：红色区域的部分随着维度的增加，它的比重越来越小$\left(\frac{\pi }{4}\to \frac{\pi }{6}\right)$。如果继续增加维度，增加至维度$k$，此时特征空间可理解为一个超立方体(Hypercube)，而红色区域可理解为一个超球体(hypersphere)，此时继续对该特征空间进行采样，采样结果属于 红色区域的概率 表示如下：
  $${\mathcal{P}}_{red}^{(k)}=\frac{{\mathcal{V}}_{hypersphere}}{{\mathcal{V}}_{Hypercube}}=\frac{\mathcal{M}\times \pi (0.5{)}^k}{1^k}$$
  其中，$\mathcal{M}$表示常数，当维度$k$趋于无穷大时，${\mathcal{P}}_{red}^{(k)}$趋近于0：
  $$\underset{k\to \infty }{\lim }\mathcal{M}\times \pi (0.5{)}^k=0$$
  换句话说，在维度足够大的条件下，我们是 极难采样到红色区域的样本。

• 继续假设，如果只增加特征空间的维度，而对应的样本数量不发生变化，此时随着维度的增高，红色区域中最终不存在任何样本(从中采集样本的概率是0)，所有样本均位于橙色区域部分。
  此时造成了数据的‘稀疏性’。

  此时，特征空间的样本分布呈现一种中空状态，样本分布极不均匀。
  随着维度的增加，红色区域(超球体的体积)在坍缩，而特征空间的数值(超立方体的体积不发生任何变化)
红色区域具体是如何坍缩的？仍然以2维提升到3维为例，如果2维提升到3维想要保证概率结果不变，可以想象成立方体内部嵌入一个‘圆柱’，而圆柱体积与球体积的差值就是红色区域坍缩的部分。

示例2

在2维特征空间中存在一个特殊的特征空间，该特征空间的形状是 半径为1的圆围成的空间。
此时存在一个区域，形状也为圆形，与特征空间共用同一个圆心，其半径为$1-ϵ(1>ϵ>0)$。具体图像表示如下：
ε是一个极小的正值。

• 同示例1，假设样本在特征空间中均匀分布，从该特征空间中进行采样，采样到红色区域样本的概率表示如下：
  $${\mathcal{P}}_{red}=\frac{\pi \times (1-ϵ{)}^2}{\pi \times 1^2}=(1-ϵ{)}^2$$
  此时，如果$ϵ$较小时，如$ϵ=0.01$，此时选中红色区域样本的概率是较高的：
  $${\mathcal{P}}_{red}=(1-0.01{)}^2=0.9801$$
• 如果将特征空间的维度由二维增加到三维，固定$ϵ=0.01$，继续对特征空间进行采样，采样到红色区域样本的概率表示如下：
  $${\mathcal{P}}_{red}^{\prime }=\frac{\frac{4}{3}\pi \times (1-ϵ{)}^3}{\frac{4}{3}\pi \times 1^3}=(1-ϵ{)}^3$$
  $ϵ=0.01$时，对应概率结果为：
  $${\mathcal{P}}_{red}^{\prime }=(1-0.01{)}^3=0.970299$$
  和示例1一样，随着维度的增加，红色区域的概率比重，坍缩了。
  如果维度继续增加，增加到100维，500维，对应的概率结果表示为：
  $${\mathcal{P}}_{red}^{(100)}\approx 0.3660{\mathcal{P}}_{red}^{(500)}\approx 0.0066$$
  随着维度的增加，我们在红色区域采出样本的概率越来越小，最终概率无限趋近于0。此时的样本点全部分布于高维球空间的橙色区域，而红色区域的样本点分布几乎不存在，两者分布极不均匀。

相关参考：
维数灾难——百度百科
机器学习-降维1-背景介绍

最后

以上就是喜悦毛巾为你收集整理的机器学习笔记之降维(一)维数灾难引言的全部内容，希望文章能够帮你解决机器学习笔记之降维(一)维数灾难引言所遇到的程序开发问题。

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