Georgia Tech计算视觉学习笔记：Edge detection: Gradients

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我是靠谱客的博主美好电话，最近开发中收集的这篇文章主要介绍Georgia Tech计算视觉学习笔记：Edge detection: Gradients，觉得挺不错的，现在分享给大家，希望可以做个参考。

概述

LESSON 7
2A-L5 Edge detection: Gradients

0.Intro

上一节我们讲述了模板匹配，我们有了固定大小的模板，然后去做相关操作，找到模板的位置
但是若我们事先不知道模板什么样子，我们该如何提取信息去找到我们感兴趣的东西呢？

1.Reduced Images

在这里插入图片描述
可以看到，尽管这些图片仅仅只是绘制了边缘，但是我们依然知道图片绘制了什么。

我们可以猜测，在图片的边缘中依然有很多信息值得我们分析

但是在分析边缘信息之前，我们先要学会怎么提取边缘信息
我们一般将这种操作称作边缘检测[Edge detection]

顺便说一下, 教授将这种只含有边缘的图片称作reduced images

2.Edges

在这里插入图片描述
可以从这张古老的图片看出，有四种常用的边界，从上往下依次是：

surface normal discontinuity 表面自然不连续
depth discontinuity 在深度方向上的不连续
Surface color discontinuity 表面颜色的不连续
illumination discontinuity 照明导致的不连续

在这里插入图片描述
在显示中的照片中也有这几种 discontinuity (可能翻译为边界好一些)
(好吧，笔者感觉目前对边界分类作用不太大)

3.Change Boundaries Quiz

在这里插入图片描述
猜猜看，哪个不是shape或者illumination造成的边界？

4.Change Boundaries Quiz Solution

选D

D.标志上的条纹不是由于形状或者照明(shape 或 illumination)变化引起的

它与反射纹理或反射颜色有关(reflected texture or reflected color)

5.Edge Detection

所以我们的问题变成了，怎样找到边界上的像素点？
在这里插入图片描述
回想一下，我们之前将image视作函数的那张图片，可以看到在边界的地方有很"陡峭的悬崖"

所以我们的问题就变成了，在一个小范围内，找到陡峭的悬崖，此处即是边界，是的，听起来很简单

在这里插入图片描述
但是还是有两个问题需要我们考虑：

我们要在多小的范围内找到边界
"悬崖"多高，就是像素的变化值变化多大才能视为边界

同时，我们以没必要找到准确的像素位置，我们只需要将这些80+的数字视为一侧，而20+，30+的数字视为另一侧即可
在这里插入图片描述

6.Derivatives and Edges

我们将图片视为函数，那么图片的变化是什么呢？
没错，就是导数，好，那我们来看看导数和边界的关系

在这里插入图片描述
在图中的第一行将边界定义为：图像灰度函数迅速变化的区域就是边界

将左图红线上的灰度值展示在中间的图片上，可以很明显地看到灰度值的走势

对该图像求一阶导数，得到右图，可以看到一阶导数有两个极值
可以猜到，边界与一阶导数的极值有关

那我们现在的问题是，如何找到一阶导数的极值点？？？

你还记得这位网红吗？？我们的waldo

我们当时是怎么做的？？滤波！给图像做滤波，然后通过观察滤波后的结果，找到waldo的位置

同理，我们为了找到一阶导数极值的位置，也要对图像做滤波

7.What is a Gradient

我们通过计算图片的梯度，然后给梯度设定阈值需选择我们的边界
(We are going to compute that image gradient function.)
(Then we are going to threshold this gradient function to select the edge pixels)

那么，什么是梯度

在这里插入图片描述
回想一下，高中的数学怎么学的，导数的方向是函数值增大的方向还是减小的方向，忘了？？ $x^{2}$ 求个导，看看

是的，导数值的方向是函数增大的方向，可以将梯度视为函数导数的推广
将分别对各维度变量求偏导组成的向量可以称为梯度(可能笔者说的不准确，大家都懂就好)
所以梯度方向，是多元函数值增大的方向

忘了说刚刚的图了:

$∇ f = [ ∂ f ∂ x , 0 ] nabla f = [frac{partial f}{partial x}, 0]$ 这是仅对 $x$ 方向求偏导
$∇ f = [ 0 , ∂ f ∂ y ] nabla f = [0, frac{partial f}{partial y}]$ 这是仅对 $y$ 方向求偏导
$∇ f = [ ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y ] nabla f = [frac{partial f}{partial x}, frac{partial f}{partial y}]$ 这是仅对 $x y$ 方向求偏导

嘿嘿，相当于没说

我们再来看看梯度的幅值和方向，和高数中的一样哈
在这里插入图片描述
注: 梯度的方向是上式 $θ$ ，其为梯度和 $x$ 轴正方向的夹角，同时， $y$ 轴正方向是朝下的

8.Magnitude Quiz

当梯度的幅值为0时，意味着什么？
在这里插入图片描述

9. Magnitude Quiz Solution

根据高中数学，明显为 D

10. Finite Differences

嗯，有限差分，老铁们可能会想到前向差分和后向差分，就不多说了

在连续域内， $f (x, y)$ 在 $x$ 方向上的偏微分定义为：

在这里插入图片描述

但在离散域内， $f (x, y)$ 在 $x$ 方向上的偏微分中 $ε$ 不能趋于0，只能取1，所以，离散梯度定义为：
在这里插入图片描述
下面写着，右向差分，也就是我们常说的前向差分。

我们来猜一下，右图是左图的 $x$ 方向的差分还是 $y$ 方向的差分
在这里插入图片描述
我们可以看到:

所以应该是在 $x$ 方向的差分，因为其对水平方向的变化很敏感

11. Finite Differences

在这里插入图片描述
第一个问题，下面两张图，哪一个是对 $x$ 求偏导，哪一个是对 $y$ 求偏导
左图垂直方向的轮廓很清楚，所以是对 $x$ 求偏导
右图水平方向的轮廓很清楚，所以是对 $y$ 求偏导

在这里插入图片描述
都懂哈，那是相关核，只是在卷积神经网络中那么叫而已

在这里插入图片描述
那在 $y$ 方向，我们该选择哪个相关核呢？
这取决于你，若你想 $y$ 的正方向为朝下，那就选择左边的。如果你想正方向朝上，那就选择右边的。

如果你是计算机科学家，多选择左边，若你是数学家，那就选择右边
(想想你高中的笛卡尔坐标系，正方向朝上)

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再次放出这只老虎，上边的图是，绘制了梯度的幅值，使用的是如下公式:

Emmmmmm......看起来还算是一张好的边界图吧

12. The Discrete Gradient

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上图是导数的定义，但是我们想让滤波器来实现它，我们该怎们做呢？或者说，我们需要什么滤波器呢？

上图左边的滤波器看上去不错，但是它缺少中间像素，这样的话，求出来的梯度是属于左边的像素点呢？还是右边的像素点呢？

而右边的相关核相对较好一点儿，但是为什么会出现连个二分之一呢？？
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两个梯度求均值相关核会出现 $1 2 frac{1}{2}$

13.Sobel Operator

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人们研究求图像梯度已经好多年了，最常用的就是使用 $s o b e l$ 算子

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你可能会好奇，为啥前面要除以一个8呢？？

想想上节课 $∣ − 1 2 ∣ 0 ∣ + 1 2 ∣ |-frac{1}{2}| 0 |+frac{1}{2}|$ 是正常的求一个梯度
那 $∣ - 2 ∣ 0 ∣ + 2 ∣$ 就是在该基础上乘以4， $∣ - 1 ∣ 0 ∣ + 1 ∣$ 就是在该基础上乘以2
所以相当于求了8次 $∣ − 1 2 ∣ 0 ∣ + 1 2 ∣ |-frac{1}{2}| 0 |+frac{1}{2}|$

为了归一化 $(n o r m a l i z a t i o n)$ 所以要除以8

这里再说明一下，在matlab的imgradientxy函数中，求梯度默认亦是使用sobel算子，但是并不会除以8(可能是为了计算速度？)

另外需注意，在sobel算子中， $S_{y}$ 的正方向为向上

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上图是应用sobel算子求梯度，然后再求幅值所得图像，再取阈值之后得到右边的图片

可以说这张边界图片不是太好，也不是太坏！

14. Well Known Gradients

在这里插入图片描述
这里还有其他有名的求梯度的算子，老铁们瞅一瞅

15. Compute Gradients Quiz

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这是我不用开字母的一节，因为教授是照着题目念的

16. Compute Gradients Quiz Solution

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根据之前的操作，我们当然知道是相关操作，但是如果我们知道了怎么操作，卷积还是相关他就不影响了。

教授原话:
Look, as long as you keep track of what’s going on, it doesn’t matter.

17. Gradient Direction Quiz

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给定上左图，对其使用连个方向的索贝尔算子，得到右边梯度两图

计算梯度的幅值和方向，得到下图：
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通过幅值显示的边界很清晰，下图是各边界的角度:

但是显示的方向图有些哪一理解：为什么，右边的边是0度呢？
回忆下之前的公式：

它是， $y$ 方向的变化量除以 $x$ 方向的变化量的比值，再求其反正切值，而最右边的那条边， $y$ 方向的变化量显然为零， $x$ 方向的变化量显然是某一常数，所以其比值为0

你可能又要问了，为何最下面的边是-90度，我不是+90度呢？回想上边的原图，$x$方向的变化量显然为0，而$x$方向的变化量如何计算呢？

注意在sobel算子中， $y$ 正方向为向上，所以 $y$ 方向的变化量为某一负的常数

所以 $∂ f ∂ y / ∂ f ∂ x frac{partial f}{partial y} / frac{partial f}{partial x}$ 为负无穷

在下图 $a r c t a n (x)$ 中， $- \infty$ 时的取值为-90度

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那么问题来了，我们如何提取特定角度的边呢？

18. Gradient Direction Quiz Solution

只需给梯度方向角度设定阈值，提取对应的边的mask，再对边界图片做掩膜操作即可

19. But in the Real World

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但是在实际图片中，会有许多噪声，我们对图片求导，会得到一个很尴尬的结果，导致我们无法准确找到边界的位置

这是给之前的结果添加高斯噪声的结果，画面越来越粗糙
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这时我们就应该给图片做平滑操作，给图片做高斯滤波即可

但是给图片做完高斯滤波再去求导，计算量太大，根据卷积或着相关的性质：
我们可以先对卷积核求导，然后以得到的结果对图片做滤波即可
在这里插入图片描述
我们只需找到这次卷积操作之后的峰值即可，峰值即是边界，但是实际操作中，峰值在离散空间不太好找，所以，我们对高斯滤波器求二阶导数，再对图片滤波，找到结果为0的点即可