咸鱼带你理解的离散傅里叶变换（DFT）

      学《数字信号处理》这门课大半学期了，有很多关于傅里叶变换的名词出现在我的眼前，我很疑惑。一直想弄懂这些变换的关系。最近这几天在看《数字信号处理》，终于将有关傅里叶变换的名词弄懂了一部分。  经过我这几天的学习，我理解的数字信号处理是一门以应用为主，而信号与系统是以理论为主，如果要想学好数字信号处理，信号与系统一定要学好， 数字信号处理是在信号与系统基础上进一步深化，数字信号处理侧重可实现性，以实现为主。而信号与系统以理论为主，很多理论实际上根本无法实现。

       什么是频域？从我们出生，我们看到的世界都以时间贯穿，股票的走势、人的身高、汽车的轨迹都会随着时间发生改变。这种以时间作为参照来观察动态世界的方法我们称其为时域分析。而我们也想当然的认为，世间万物都在随着时间不停的改变，并且永远不会静止下来。但如果我告诉你，用另一种方法来观察世界的话，你会发现世界是永恒不变的，你会不会觉得我疯了？我没有疯，这个静止的世界就叫做频域。在时域，我们观察到钢琴的琴弦一会上一会下的摆动，就如同一支股票的走势；而在频域，只有那一个永恒的音符。所以我们眼中看似落叶纷飞变化无常的世界，实际只是躺在上帝怀中一份早已谱好的乐章。

      将时域内所有的信号分为连续周期、连续非周期、离散周期、离散非周期这四类，将它们利用傅里叶变换到频域分别表示为非周期离散、非周期连续、周期离散、周期连续这四类，经过观察不难发现其中的规律，时域的离散化对应其频域的周期化、频域的离散化对应时域的周期化。时域中的连续周期信号变换到频域为非周期离散信号这个过程称为连续时间周期信号的傅里叶级数（FS）。时域中的连续非周期信号变换到频域为非周期连续信号这个过程称为连续时间非周期信号的傅里叶变换（FT）。时域中的离散周期信号变换到频域为周期离散信号这个过程称为离散傅里叶级数（DFS）。时域中的离散非周期信号变换到频域为周期连续信号这个过程称为非周期序列的傅里叶变换（DTFT）。

      为了在计算机上实现傅里叶变换计算，必须把连续函数离散化。仔细研究FS、FT、DFS、DTFT四对变换发现时域和频域都是离散的只有离散周期信号。连续周期、连续非周期、离散周期、离散非周期这四类信号在时域与频域变换的过程中具有对称性。通过时域抽样定理与频域抽样定理，连续周期、连续非周期、离散非周期这三类信号在频域的信号都可以变为离散的。这样就解决了连续函数必须离散化的问题。然而离散周期信号是无限长的，在计算机上是无法计算的。为了解决这一问题，只取离散周期信号的一个周期进行傅里叶变换，这就是离散傅里叶变换（DFT）

最后

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