现代通信原理：月考（二）答案

二、设二进制序列中的各符号间互相独立，且两个二进制符号等概率出现，若信息速率$r_b=64$kb/s，请画出下列随机信号的平均功率谱密度示意图，并请标出带宽。
1）单极性不归零码序列且脉冲波形为矩形；
2）如题图1所示，单极性不归零矩形信号通过乘法器之后得到的2ASK信号；
3）双极性根升余弦信号；
4）如题图1所示，双极性根升余弦信号通过乘法器之后得到的2PSK信号。

【解答】
根据功率谱密度计算公式
$$P_s(f)=\frac{{\sigma }_a^2}{T_s}|G_T(f){|}^2+\frac{m_a^2}{T_s^2}{\Sigma }_k|G_T(\frac{k}{T_s}){|}^2\delta (f-\frac{k}{T_s})$$可得下列不同信号功率谱密度
1）单极性不归零码序列且脉冲波形为矩形；
$m_a=0.5$，${\sigma }_a^2=0.25$，$r_s=r_b=64$kBaud，$G_T(f)=A{T}_s\mathrm{S}\mathrm{a}(\pi f{T}_s)$，因此有
$$P_M(f)=\frac{A^2{T}_s}{4}|\mathrm{S}\mathrm{a}(\pi f{T}_s){|}^2+\frac{A^2}{4}\delta (f).$$如下图所示：

2）单极性不归零矩形信号通过乘法器之后得到的2ASK信号；
$$P_{s,2\mathrm{A}\mathrm{S}\mathrm{K}}(f)=\frac{1}{4}[P_M(f-f_c)+P_M(f+f_c)]$$其示意图为

3）双极性根升余弦信号；
$m_a=0$，${\sigma }_a^2=1$，$r_s=r_b=64$kBaud，因此有
$$P_M(f)=\frac{1}{T_s}|G_{\mathrm{R}\mathrm{C}}(f)|.$$如下图所示：

这里 G R C ( f ) = { T s ,   ∣ f ∣ < 1 2 T s ( 1 − α ) T s 2 { 1 − sin ⁡ [ T s α ( f − 1 2 T s ) ] } ,   1 2 T s ( 1 − α ) ≤ ∣ f ∣ ≤ 1 2 T s ( 1 + α ) 0 ,   ∣ f ∣ > 1 2 T s ( 1 + α ) . G_{rm RC}(f)=left{begin{aligned} T_s, &|f|<frac{1}{2T_s}(1-alpha)\ frac{T_s}{2}{1-sin[frac{T_s}{alpha}(f-frac{1}{2T_s})]}, &frac{1}{2T_s}(1-alpha)le|f|lefrac{1}{2T_s}(1+alpha)\ 0, &|f|>frac{1}{2T_s}(1+alpha). end{aligned} right. GRC​(f)=⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧​Ts​, 2Ts​​{1−sin[αTs​​(f−2Ts​1​)]}, 0, ​∣f∣<2Ts​1​(1−α)2Ts​1​(1−α)≤∣f∣≤2Ts​1​(1+α)∣f∣>2Ts​1​(1+α).​为升余弦谱。
4）双极性根升余弦信号通过乘法器之后得到的2PSK信号
$$P_{s,2\mathrm{P}\mathrm{S}\mathrm{K}}(f)=\frac{1}{4}[P_M(f-f_c)+P_M(f+f_c)]$$其示意图为

三、已知2FSK信号的两个频率${ƒ}_1$为980Hz，${ƒ}_2$为1580Hz，码元速率$r_s$=300Baud，2FSK信号平均功率为$P_s=10^{-4}$W，噪声的单边功率谱密度$N_0=10^{-8}$W/Hz。试求：
1） 2FSK信号的第一零点带宽；
2）该2FSK信号的功率谱密度示意图；
3）用匹配滤波器进行最佳接收时系统的误码率。
【解答】
1）这里我们考虑带宽无限的2FSK信号，其第一过零点带宽为$$B=|f_1-f_2|+2r_s=1200(\mathrm{H}\mathrm{z}).$$
2）功率谱示意图如下图所示

3）用MF进行接收时，我们用相关接收机来等效，其模型如下图所示

注意这里我们用了两路MF（或相关接收机），分别与发送信号
$$s_1(t)=\cos 2\pi f_{1}t,,t\in [0,T_s]$$以及
$$s_2(t)=\cos 2\pi f_{2}t,t\in [0,T_s]$$匹配，并且由于$|f_1-f_2|=600$是$\frac{1}{2T_S}$的整倍数，故$s_1(t)$与$s_2(t)$正交，因此得到上下两路的随机变量$y_1$和$y_2$，分别满足分布
$$y_1\sim \{\begin{array}{rl}\mathcal{N}(E_b,\frac{E_b{N}_0}{2}),& 发s_1(t)\\ \mathcal{N}(0,\frac{E_b{N}_0}{2}),& 发s_2(t)\end{array}$$
以及
$$y_2\sim \{\begin{array}{rl}\mathcal{N}(0,\frac{E_b{N}_0}{2}),& 发s_1(t)\\ \mathcal{N}(E_b,\frac{E_b{N}_0}{2}),& 发s_2(t)\end{array}$$因此，可以得到$l=y_1-y_2$满足如下分布
$$l\sim \{\begin{array}{rl}\mathcal{N}(E_b,E_b{N}_0),& 发s_1(t)\\ \mathcal{N}(-E_b,E_b{N}_0),& 发s_2(t)\end{array}$$其条件概率密度函数如下图所示：

0、1等概时，可以求得误码率结果为$\mathrm{Q}(\sqrt{\frac{E_b}{N_0}})$。

四、设信息速率为6kbps，

1. 若采用二进制基带传输系统，所需最小带宽是多少？请画出采用最小带宽时基带成形网络的频域传递函数示意图。
2. 若采用滚降因子为 0.5的八进制升余弦基带传输系统，计算信号所需带宽为多少？
3. 若采用QPSK调制进行传输，所需最小带宽是多少？此时频带利用率${\eta }_s$(Baud/Hz)以及${\eta }_b$(bits/s/Hz)分别为多少？
4. 若采用16QAM调制进行传输，基带信号为不归零矩形脉冲，该16QAM信号所需最小带宽是多少？

【解答】

1. $B_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}=3$kHz。（图略，为理想低通）
2. $r_s=2$kBaud，$B=\frac{1+\alpha }{2}{r}_s=1.5$kHz
3. $r_s=3$kBaud，$B_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}=r_s=3$kHz，${\eta }_s=\frac{r_s}{B}=1$(Baud/Hz)，${\eta }_b=\frac{r_b}{B}=$(bits/s/Hz)
4. $r_s=1.5$kBaud，第一过零点带宽为$B=2r_s=3$kHz。

第五题

1. 请问对于2PSK MF解调、2DPSK差分相干解调、2ASK包络检波、2FSK MF解调这四种二进制数字调制系统而言，在保证相同误码率条件下，$\frac{E_b}{N_0}$要求最大的是哪一种？最小的是哪一种？频带利用率最差的是哪一种？2DPSK与2PSK相比好处在什么地方？
2. 若信息速率为3600bits/s，且基带信号为不归零的方波，请问2PSK信号的第一过零点宽度为多少？若保持信息速率不变采用QPSK信号进行传输，则该QPSK信号的第一过零点宽度为多少?
3. 若信息速率为3600bit/s，且基带信号为滚降因子为0.25的升余弦波形，请问2PSK信号的带宽为多少？若保持信息速率不变采用QPSK信号进行传输，则该QPSK信号的带宽为多少?

【解答】

1. $\frac{E_b}{N_0}$要求最大的是2ASK包络检波。最小的是2PSK相干解调。可以克服接收端载波恢复时的“倒$\pi$”问题。
2. BPSK：$B=2r_s=7.2$kHz；
   QPSK：$r_s=1.8$kBaud，$B=2r_s=3.6$kHz。
3. BPSK：$B=(1+\alpha )r_s=4.5$kHz；
   QPSK：$r_s=1.8$kBaud，$B=2r_s=2.25$kHz。

第七题

  若采用A律13折线PCM编码，输入范围是[-1, 1]V，最小量化间隔为2个量化单位。

1. 若输入样值为-1329个量化单位，试求此时编码器输出码组，并计算量化误差。
2. 若接收到的码组为“11001010”，试问解码器输出为多少个量化单位？此时最大量化误差是多少？编码器输入样值的可能输入范围是多少？
3. 若对5路模拟语音信号分别用8kHz速率进行采样并进行A律13折线PCM编码后，时分复用，试问合路后的速率为多少？若将此合路后的数据用8进制基带传输，所需最小传输带宽为多少？
4. 若对最大频率为$f_m$的模拟基带信号进行A律13折线PCM编码后，采用16-ASK系统进行传输，基带波形为$\alpha =0.25$的升余弦波形。若要求信道不大于45kHz，试求能够允许的最大$f_m$值。

【解答】

1. 设最小量化间隔$\Delta =\frac{1}{2048}$，则输入样值为$-665\Delta$，编码器输出码组为$01100100$，解码器输出为$-656\Delta$，误差为$9\Delta =0.00439$V。
2. 解码器输出为$+(2^7+10.5\times 2^3)\Delta =212\Delta$，因此为424个量化单位。最大量化误差为$2^{i-2}/2\Delta =4\Delta$。可能范围为$208\Delta \sim 217\Delta$。
   3）$r_{b,合}=5\times 8\times 8=320$kbps，$r_s=\frac{320}{3}$kBaud，$B_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}=160$kHz.
3. $B=45$kHz，$r_s=\frac{B}{1+\alpha }=36$Baud，$r_b=144k$bps，$f_s=18$kHz，因此能够允许的最大$f_m$为9kHz。

第八题

   现有模拟基带信号$g(t)$频谱$G(f)$如题图8-1所示，其中$f_H=6$kHz。试求：

1. 若对$g(t)$进行抽样，求最小不失真取样速率$f_{s,\min }$。若对$g(t)$进行DSB-SC调制后再抽样，载波频率为100kHz，求最小不失真取样速率$f_{s,\min }$。
2. 若采用理想抽样，抽样脉冲序列$p(t)$如题图8-2所示。试求
   （1）$p(t)$的频谱$P(f)$并画图。
   （2）理想抽样器输出频谱$G_s(f)$并画图。
   （3）若在接收端采用低通滤波器传递函数$H(f)$，请画出$H(f)$示意图（标出上截止频率）。
   （4）输出信号$g_o(t)$的频谱$G_o(f)$并画图。

【解答】

1. $f_{s,\min }=2f_H=12$kHz。
   调制后，$f_L=94$kHz，$f_H=106$kHz，B=$12$kHz，因此$f_{s,\min }=2\times B(1+\frac{m}{k})$，$k=8$，$m=\frac{5}{6}$，因此$f_{s,\min }=26.5$kHz。
2. $$\begin{gathered} p(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (t-n{T}_s)\leftrightarrow P(f)=\frac{1}{T_s}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (f-k{f}_s) \\ {G}_s(f)=\frac{1}{T_s}\sum _{k=-\infty }^{\infty }G(f-k{f}_s) \\ H(f)=\mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}\left(\frac{f}{f_s}\right) \\ {G}_o(f)=\frac{1}{T_s}G(f). \end{gathered}$$

最后

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