现代通信原理4.1：随机变量

1、概率分布函数与概率密度函数

  我们可以用随机变量$X(\mathrm{A})$表示随机事件A与实数之间的关系。为了简化表达，我们用$X$表示这个随机变量，省去了A。随机变量可以是离散的，也可以是连续的。
随机变量$X$的概率分布函数可以表示为
$$P_X(x)=\mathrm{P}\mathrm{r}(X\le x)，$$其中$\mathrm{P}\mathrm{r}(X\le x)$表示随机变量$X$落到实数区间$(-\infty ,x)$内的概率，$x$为一个实数。分布函数$P_X(x)$有如下性质：

• $0\le P_X(x)\le 1$
• $P_X(x_1)\le P_X(x_2),\mathrm{i}\mathrm{f}{x}_1\le x_2$
• $P_X(-\infty )=0$
• $P_X(\infty )=1$
    随机变量另外一个非常有用的函数是概率密度函数（probability density function, pdf），它的定义是
  $$p_X(x)=\frac{\mathrm{d}{P}_X(x)}{\mathrm{d}x},$$显然它也是实数$x$的函数。那么为什么我们把它叫做“密度函数”呢？我们来看看随机变量落到区间$[x_1,x_2]$上的概率：
  $$\begin{array}{rl}\mathrm{P}\mathrm{r}(x_1\le X\le x_2)& =\mathrm{P}\mathrm{r}(X\le x_2)-\mathrm{P}\mathrm{r}(X\le x_1)\\ & =P_X(x_2)-P_X(x_1)\\ & ={\int }_{x_1}^{x_2}{p}_X(x)dx\end{array}$$
  这样，$X$落到非常窄的区间$[x,x+\Delta x]$上的概率可以近似为
  $$\mathrm{P}\mathrm{r}(x\le X\le x+\Delta x)={\int }_x^{x+\Delta x}{p}_X(x)dx\approx p_X(x)\Delta X$$这样当$x\to 0$时，我们可以得到
  $$\mathrm{P}\mathrm{r}(X=x)=p_X(x)dx.$$
  随机变量的pdf具有如下性质：
• $p_X(x)\ge 0$
• ${\int }_{-\infty }^{\infty }{p}_X(x)dx=1.$

2、集合平均

  在第2.1节我们介绍了时间平均算子。时间平均算子对确定信号而言是非常有用的运算，因为确定信号的直流、能量、平均功率、相关函数等都是基于时间平均算子来定义的。2.1节中也提到，我们还有一种平均算子就叫做集合平均，下面我们来看看它是如何定义的。
  对于随机变量$X$，它的均值（期望值）定义为
$$m_X=\mathrm{E}[X]={\int }_{-\infty }^{\infty }x{p}_X(x)dx$$这里的$\mathrm{E}[\cdot ]$就称为集合平均算子。随机变量$X$概率分布的$n$阶矩定义为
$$\mathrm{E}[X^n]={\int }_{-\infty }^{\infty }{x}^n{p}_X(x)dx$$
  从通信系统分析角度来看，我们最为常用的是一阶以及二阶矩，具体定义如下：

• 一阶（原点）矩：也就是上面定义的$X$的均值
  $$m_X=\mathrm{E}[X]={\int }_{-\infty }^{\infty }x{p}_X(x)dx$$
• 二阶（原点）矩：也就是$X$的均方值
  $$\mathrm{E}[X^2]={\int }_{-\infty }^{\infty }{x}^2{p}_X(x)dx$$
  我们还可以定义中心矩来刻画$X$与$m_X$之间的偏差，常用的包括：
• 二阶（中心）矩：也就是$X$的方差（variance）
  $$\mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{r}(X)={\sigma }_x^2=\mathrm{E}[(X-m_X{)}^2]={\int }_{-\infty }^{\infty }(x-m_X{)}^2{p}_X(x)dx$$其中${\sigma }_x$称为$X$的标准偏差。
    关于方差，有两个问题我们需要注意一下。首先是方差的物理意义。方差是随机变量$X$“随机性”的量度，给定了随机变量的方差，实际也就是给定了它的概率密度函数的宽度，其次是均值、均方值与方差的关系。我们可以得到
  $$\begin{array}{rl}{\sigma }_x^2& =\mathrm{E}[(X-m_X{)}^2]\\ & =\mathrm{E}[X^2+m_X^2-2m_{X}X]\\ & =\mathrm{E}[X^2]-m_X^2\end{array}$$也就是说，方差等于均方值减去均值的平方。

3、高斯分布

  高斯分布（也称为正态分布），是所有做通信、信号处理人的最爱.这种爱，不仅仅来自于她的优雅对称，更来自于我们几乎可以得到所有相关的统计特性。在分析中，只要能够把一个变量看作是高斯分布，我们立刻就喜笑颜开，如释重负，美好前景就在前面。如果是非高斯分布?好吧，我们慢慢来……
  这部分的参考文献大家可以在网上找到很多，我们下面引用的是一篇《名为正态分布的前世今生》，我给出了网页的拷屏图片，以感谢为了科学的普及在网上默默付出的人们。我们仅仅引用了其中的第一部分，同时对部分内容用【注：】的形式进行了解释。我知道你在概率课程里面已经学过高斯变量，不过如果你能够静下心来好好品味，也许会领略到高斯分布别样的风情。

一、正态分布，熟悉的陌生人
  学过基础统计学的同学大都对正态分布非常熟悉。这个钟型的分布曲线不但形状优雅，其密度函数写成数学表达式
$$p_X(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{(x-{\mu }^2)}{2{\sigma }^2}}$$也非常具有数学的美感。【注：这里的$\mu$、${\sigma }^2$分别为均值和方差】。其标准化后的概率密度函数【注：标准化就是把均值化为0，方差化为1】为
$$p_X(x)=\frac{1}{2}{e}^{-\frac{x^2}{2}}$$
更加的简洁漂亮。两个最重要的数学常量$\pi$、$e$ 都出现在了公式之中。在我个人的审美之中，它也属于top-N的最美丽的数学公式之一，如果有人问我数理统计领域哪个公式最能让人感觉到上帝的存在，那我一定投正态分布的票。因为这个分布戴着神秘的面纱，在自然界中无处不在，让你在纷繁芜杂的数据背后看到隐隐的秩序。

【注：上面这张图原文中没有做解释，大家可以跟我一起看一下。这是概率密度函数曲线，横坐标是实数轴，纵坐标是概率密度。正态分布的概率密度函数关于均值左右对称。高斯分布的随机变量$X$取值落在$[\mu ,\mu +\sigma ]$区间的大约概率为34.2%，在$[\mu +\sigma ,\mu +2\sigma ]$区间的概率大约为13.5%，在$[\mu +2\sigma ,\mu +3\sigma$]区间的概率大约为2.2%。提个问题，在区间$[-\infty ,\mu ]$的概率为多少？】

  正态分布又通常被称为高斯分布，在科学领域，冠名权那是一个很高的荣誉。去过德国的兄弟们还会发现，德国的钢镚和10马克的纸币上都留有高斯的头像和正态密度曲线。正态分布被冠名高斯分布，我们也容易认为是高斯发现了正态分布，其实不然，不过高斯对于正态分布的历史地位的确是起到了决定性的作用。


  正态曲线虽然看上去很美，却不是一拍脑袋就能想到的。我们在学习数理统计的时候，课本一上来介绍正态分布就给出密度分布函数，却从来不说明这个分布函数是通过什么原理推导出来的。所以我一直搞不明白数学家当年是怎么找到这个概率分布曲线的，又是怎么发现随机误差服从这个奇妙的分布的。我们在实践中大量的使用正态分布，却对这个分布的来龙去脉知之甚少，正态分布真是让人感觉既熟悉又陌生。直到我读研究生的时候，我的导师给我介绍了陈希儒院士的《数理统计学简史》这本书，看了之后才了解了正态分布曲线从发现到被人们重视进而广泛应用，也是经过了几百年的历史。

【注：中间的主要内容我们略去了，因为涉及很多统计学的内容。有兴趣的同学可以自己进行阅读http://songshuhui.net/archives/76501。我们最后引用文章的结尾】

  好的，风景欣赏暂时告一段落。所谓横看成岭侧成峰，远近高低各不同，正态分布给人们提供了多种欣赏角度和想象空间。法国菩萨级别的大数学家庞加莱对正态分布说过一段有意思的话，引用来作为这个小节的结束：

【注：或者换句话说，高斯分布建立了数学与物理世界的联系，明白我们为何如此看重它了吧？在我们这门课程里面，大家跟高斯分布打交道主要是分析噪声。】

最后

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