2019 南京网络赛 I. Washing clothes（思维 + 李超树（模板））

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题目大意：有 N 个人要洗衣服，每个人到来的时间是 $t_i$，有一台洗衣机，洗衣机洗衣服要花费 $x$ 单位时间（x 是个变量），且洗衣机一次只能供一个人使用，还可以选择手洗，手洗将花费 $y$ 单位时间，求如何安排可以使得最后所有人洗完衣服的时间最短，对每个 $x\in [1,y]$ 输出所有人洗完衣服的最短时间。

设所有人到来的时间从小到大有序，在最优策略下一定存在一个分界点，该分界点之前所有人都是手洗，该分界点（包括这个分界点）之后所有人都使用洗衣机。

感性的证明一下这个结论：
所有人都不使用洗衣机的情况下，答案 ans = tn + y，答案受限于最后一个人，考虑使用洗衣机，要将答案降下来，必须先给最后手洗的人使用。

考虑从后往前第一个不使用洗衣机的人 p，对于 p 以前的点，再安排洗衣机的使用也无法使得答案降下来，只有考虑让 $p$ 也使用洗衣机。
当 $p$ 使用洗衣机后有两种可能的结果：
1、最后的答案减小，这种情况仅发生在此时答案受限于 p 点，且 p 点使用洗衣机后不会抬高最后的时限，这种情况让 p 使用洗衣机更优。
2、最后的答案增大，这种情况发生在答案受限于 $p$ 后面的点，p 点使用洗衣机抬高了后面的点开始使用洗衣机的时间，这种情况不如让 p 手洗。

综上分析最后一定是一个后缀使用洗衣机。

第 $m$ 个使用洗衣机的人，对最后的答案的贡献是 $t[m]+(n-m+1)\ast x$，使用洗衣机的人对答案的贡献为 $max(t[i]+(n-m+1)\ast x)$

设界限为点 p，$ans=f(p)=max(t[p-1]+y,\underset{i=p}{\overset{n}{\max }}(t[p]+(n-p+1)\ast x))$，
$f(i)$ 是一个以 i 为自变量 的凸函数。显然当 $x$ 增大时，界限 p (极小值点) 将会左移。

考虑倒序枚举 x，界限点单调从 n 向 1 移动，设当前界限点为 i，若 i - 1 点答案更小，则界限向 i - 1 移动。对于 $max(t[i]+(n-m+1)\ast x)$，这是一个一次函数，可以利用李超树维护，每当界限移动时将直线维护到李超树中，由于每条直线的定义域都相同，维护直线的复杂度为 $\log y$

官方题解：

整体复杂度为：$O((n+y)\log y)$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 1e6 + 10;
const int N = 1e6;
typedef long long ll;
ll inf = 123456789123456789ll;
int n,m,q,op,s,t[maxn],y;
ll a,b,ans[maxn];
struct Line {				//直线结构体 
	int k,b;				 
	Line() {}
	Line(int ki,int bi) {
		k = ki, b = bi;
	}
	ll calc(int x) {	//计算在 x 点的 y值 
		return 1ll * k * x + b;
	}
};
struct seg_tree {					//维护 x = k 处最低线段 
	#define lson rt << 1,l,mid
	#define rson rt << 1 | 1,mid + 1,r
	Line line[maxn << 2];
	void build(int rt,int l,int r) {
		line[rt].k = 0; line[rt].b = 0;
		if (l == r) return;
		int mid = l + r >> 1;
		build(lson); build(rson);
	}
	void update(int rt,int l,int r,int L,int R,Line t) {
		if (L <= l && r <= R) {
			int mid = l + r >> 1;
			if (line[rt].calc(l) < t.calc(l) && line[rt].calc(r) < t.calc(r)) {		
				line[rt] = t;
			} else if (line[rt].calc(l) < t.calc(l) || line[rt].calc(r) < t.calc(r)) {		
				if (line[rt].calc(mid) < t.calc(mid)) {					
					Line tmp = t; t = line[rt]; line[rt] = tmp;
				}
				if (t.k > line[rt].k) {						
					update(rson,L,R,t);
				} else {									
					update(lson,L,R,t);
				}
			}
		} else {
			int mid = l + r >> 1;
			if (L <= mid) update(lson,L,R,t);
			if (mid + 1 <= R) update(rson,L,R,t);
		}
	}
	ll query(int rt,int l,int r,int v) {		//查询区间 L,R 最小值 
		if (l == r) return line[rt].calc(v);
		ll ans = line[rt].calc(v);
		int mid = l + r >> 1;
		if (v <= mid) return max(ans,query(lson,v));
		else return max(ans,query(rson,v)); 
	}
}seg;
int main() {
	while(scanf("%d%d",&n,&y) != EOF) {
		for (int i = 1; i <= n; i++)
			scanf("%d",&t[i]);
		t[0] = -y;
		sort(t + 1,t + n + 1);
		int p = n;								//最后一个使用洗衣机的人 
		seg.build(1,1,y);
		for (int i = y; i >= 1; i--) {
			while (p >= 1) {
				ll curval = seg.query(1,1,y,i);
				ll curans = max(curval,1ll * t[p] + y);
				ll nxtval = max(curval,1ll * (n - p + 1) * i + t[p]);
				ll nxtans = max(nxtval,1ll * t[p - 1] + y);
				if (nxtans <= curans) seg.update(1,1,y,1,y,Line(n - p + 1,t[p])), p--;
				else break;
			}
			ans[i] = max(seg.query(1,1,y,i),1ll * t[p] + y);
		}
		for (int i = 1; i <= y; i++)
			printf("%lld%s",ans[i],i == y ? "n" : " ");	
	}
	return 0;
}

最后

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