[再寄小读者之数学篇](2014-06-28 证明级数几乎处处收敛)

设 $fin L(bbR)$, 试证: $$bex vsm{n}f(n^2x) eex$$ 在 $bbR$ 上几乎处处收敛到一 Lebesgue 函数.

证明: 由 $fin L(bbR)$ 知 $|f|in L(bbR)$ (see [程其襄, 张奠宙, 魏国强, 胡善文, 王漱石, 实变函数与泛函分析基础 (第三版), 北京: 高等教育出版社, 2010 年] Page 109 (vi)). 既然 $$bex vsm{n} int |f(n^2x)|rd x =vsm{n} frac{1}{n}^2int |f(t)|rd t <infty, eex$$ 我们有 (see [程其襄, 张奠宙, 魏国强, 胡善文, 王漱石, 实变函数与泛函分析基础 (第三版), 北京: 高等教育出版社, 2010 年] Page 116 定理 7) $$bex int vsm{n} f(n^2x)rd x =vsm{n} int f(n^2x)rd x =vsm{n} frac{1}{n^2}int f(t)rd t. eex$$ 按照 [程其襄, 张奠宙, 魏国强, 胡善文, 王漱石, 实变函数与泛函分析基础 (第三版), 北京: 高等教育出版社, 2010 年] Page 108 (ii) 即知 $$bex vsm{n} f(n^2x) eex$$ 在 $bbR$ 上几乎处处有限, 而收敛.