傅里叶变换尺度变换性质_关于傅里叶变换又遇到一个非常烧脑的事情

傅里叶变换：

在之前的学习中我们知道了傅里叶变换在

内是可以定义的，并且在

内是保

距离的，换句话说如果

，那么

，最后我们有

在

内稠密——结合这三条性质，我们得出的结论是傅里叶变换在

内是可以定义的，理由如下：

我们可以选择

内的一个函数列

，那么由极限的定义，它们是柯西列，这也就意味着

；此时根据保距性质，

，这也就意味着

也是

的柯西列，根据

的完备性，它必然收敛于

的函数

，我们将它定义为

的傅里叶变换。

同时，对于两个不同的函数列，我们总可以把它们合并成一个函数列，这个函数列收敛于

，并且它的傅里叶变换的极限同时是两个子列的极限，这也就意味着两个子列的极限一定是相同的，因此定义的良好性（意即极限不依逼近方式改变）得证。

我看了这一段很久，看起来证明是完美的，嗯，简单而完美，应该就是这样。但是真的没问题吗？总感觉哪里有点不安，这种不安究竟从何而来？

几个小时之后我发现了不安的源头。特别地，我们考虑函数

，它显然是

的元素，因为它有界并且以

的速度消失。在黎曼反常积分的意义下我们知道它的定积分是

但这不重要，因为现在我们考虑的是勒贝格积分，而勒贝格积分不像黎曼一维积分要求连续的区间，它可以把区间拆碎了打散了把所有正项部分拼在一起。

根据定义，我们想要选取

内收敛于它的一个函数列，特别地，我们可以考虑函数列

，其中

，而

是个紧集族，并且单调趋于

简单地说，就是将

限制于一个有界的集合上，这个集合不一定是连续的，比如可以是

，也可以是

，但是不管怎么样最后我们要让这个紧集越来越大，并最终填满整个

，之后我们计算

并求它的极限。

好的，接下来开始记算。根据定义，

，并且我们知道，

现在发现问题了吗？我们实际上是在用紧集上的黎曼积分逼近它的黎曼反常积分。而为什么黎曼反常积分要求区间必须是连续的，而有的函数即使存在黎曼反常积分也不存在勒贝格积分？就是因为它是“条件收敛”，而非绝对收敛的！回想起黎曼重排定理，如果一个数列是条件收敛的，那么一定可以通过重排使得它收敛于任何一个实数，因此对于“条件收敛”的反常积分，也一定可以通过积分区间的重排而使得它收敛于任何实数，甚至是发散。比如，我可以每次向我的紧集里加入一个负值区间，之后加入一大堆正值区间，使得正值区间上的定积分远超过负值区间上的定积分，这样最终极限一定会是正无穷大。

这一段也是这么的显而易见以至于我根本不屑于怀疑它的正确性而构造一个具体的趋于无穷大的例子。

接下来我又开始审视之前的证明，但是之前的证明也正确得显而易见，我不知道问题究竟出在哪里。

最后我意识到，取极限是在

内完成的，而少量点上的函数取值其实在

内是可以被忽略的。另一方面，

实际上是一个振频依据

而改变的振荡函数。对于某一个

，当我为了使得

的定积分趋于某一个我想要的值而挑选

时，我无法同时顾及其他的

.

也就是说，即便我处心积虑地选出了针对某一个

的正项区间，这最多对与它在有理数域上“线性相关”的那些

有效，比如

，而对于其他的

来说，它们的相对正负性几乎是随机而均匀分布于整个

上的（也就是说它们的同号区域与异号区域极为分散，几乎是互相打乱的），因此最终对于那些线性无关的

，它们的变换值巧合一般地收敛于了它们应有的位置。

至此问题解决。