二维随机变量的函数的概率密度公式的曲线积分形式

二维随机变量的函数的概率密度公式

设连续型随机变量$X,Y$的联合概率密度为$f\left(x,y\right)$，设$Z=\varphi \left(X,Y\right)$为随机变量$X,Y$的函数且$Z$可微，则$Z$的分布函数
$$F_Z\left(z\right)=\underset{D}{\iint }f\left(x,y\right)\mathrm{d}\sigma$$
其中，积分区域 D = { ( x , y ) ∣ ϕ ( x , y ) ≤ z } D={left(x,yright)|phileft(x,yright)le z} D={(x,y)∣ϕ(x,y)≤z}.

$Z$的概率密度函数
$$f_Z\left(z\right)={\int }_{L}f\left(x,y\right)\frac{\mathrm{d}s}{\sqrt{{\left(\frac{\partial \varphi }{\partial x}\right)}^2+{\left(\frac{\partial \varphi }{\partial y}\right)}^2}}$$
其中，积分曲线$L$为区域$D$的边界曲线，即 L = { ( x , y ) ∣ ϕ ( x , y ) = z } L={left(x,yright)|phileft(x,yright)=z} L={(x,y)∣ϕ(x,y)=z}.

证明

由连续性随机变量概率密度函数的定义，有
$$f_Z\left(z\right)=\frac{\mathrm{d}\left[F_Z\left(z\right)\right]}{\mathrm{d}z}=\frac{\mathrm{d}\left[\underset{D}{\iint }f\left(x,y\right)\mathrm{d}\sigma \right]}{\mathrm{d}z}$$
根据全微分，有
$$\mathrm{d}z=\frac{\partial z}{\partial x}\mathrm{d}x+\frac{\partial z}{\partial y}\mathrm{d}y=\frac{\partial \varphi }{\partial x}\mathrm{d}x+\frac{\partial \varphi }{\partial y}\mathrm{d}y$$
当$x$变化$\mathrm{d}x$，$y$变化$\mathrm{d}y$时，曲线$L$上的任一点$\left(x,y\right)$处会向此点的法向量方向扩张（或收缩）$\sqrt{{\left(\frac{\partial \varphi }{\partial x}\right)}^2+{\left(\frac{\partial \varphi }{\partial y}\right)}^2}\mathrm{d}\mathbf{n}$
则
$$\begin{array}{rl}{f}_Z\left(z\right)& =\frac{\mathrm{d}\left[\underset{D}{\iint }f\left(x,y\right)\mathrm{d}\sigma \right]}{\frac{\partial \varphi }{\partial x}\mathrm{d}x+\frac{\partial \varphi }{\partial y}\mathrm{d}y}\\ & =\frac{\mathrm{d}\left[\underset{D}{\iint }f\left(x,y\right)\mathrm{d}\sigma \right]}{\mathrm{d}\left[\sqrt{{\left(\frac{\partial \varphi }{\partial x}\right)}^2+{\left(\frac{\partial \varphi }{\partial y}\right)}^2}\mathbf{n}\right]}\\ & =\frac{\mathrm{d}\left[\underset{D}{\iint }\frac{1}{\sqrt{{\left(\frac{\partial \varphi }{\partial x}\right)}^2+{\left(\frac{\partial \varphi }{\partial y}\right)}^2}}f\left(x,y\right)\mathrm{d}\sigma \right]}{\mathrm{d}\mathbf{n}}\end{array}$$
其中$\mathbf{n}$为曲线$L$在$\left(x,y\right)$的正向单位法向量，则可以证明，对某一可微函数在区域$D$上的二重积分，求其边界上每一点处的法向量方向的方向导数，该导数的值就等于曲线$L$上对该函数对弧长的积分，因此
$$f_Z\left(z\right)={\int }_{L}f\left(x,y\right)\frac{\mathrm{d}s}{\sqrt{{\left(\frac{\partial \varphi }{\partial x}\right)}^2+{\left(\frac{\partial \varphi }{\partial y}\right)}^2}}$$

最后

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