多元函数积分学

多元数量值函数积分

• 多元数量值函数的积分: 设$(\Omega )$表示一个有界的几何形体, 它是可度量的(即可求长或可求面积或可求体积), 函数$f$是定义在$(\Omega )$上的有界数量值函数.将$\Omega$任意地划分为n个小部分$(\Delta {\Omega }_k),k=1,2,3...,n$用$\Delta {\Omega }_k$表示$(\Delta {\Omega }_k)$的度量.任取点$M_k\in (\Delta {\Omega }_k)$,作乘积$$f(M_k)\Delta {\Omega }_k,k=1,2,3,...,n$$
  作和式$$\sum _{k=1}^{n}f(M_k)\Delta {\Omega }_k$$
  若不论$(\Omega )$如何划分, 点$M_k$在$(\Delta {\Omega }_k)$中如何选取, 当所有$(\Delta {\Omega }_k)$的直径的最大值$d\to 0$时, 上述和式都趋于同一常数, 那么称函数$f$在$(\Omega )$上可积, 且称此常数为多元数量值函数$f$在$(\Omega )$上的积分, 记作$${\int }_{(\Omega )}f(M)d\Omega =\underset{d\to 0}{\lim }\sum _{k=1}^{n}f(M_k)\Delta {\Omega }_k$$
  其中$(\Omega )$称为积分域, $f$称为被积函数, $f(M)d\Omega$称为被积式或积分微元.
• 如果$\Omega$是$xOy$平面上的区域$(\sigma )$, 那么$f$就是定义在$(\sigma )$上的二元函数, $\Delta {\Omega }_k$就是子区域的面积$\Delta {\sigma }_k$, 从而积分式可以写成$${\int }_{(\Omega )}f(M)d\Omega =\underset{d\to 0}{\lim }\sum _{k=1}^{n}f({\mu }_k,{\eta }_k)\Delta {\sigma }_k$$称为$f$在区域$(\sigma )$上的二重积分, 其中$({\xi }_k,{\eta }_k)$就是点$M_k$的直角坐标. 为了明确显示二重积分有两个独立的积分变量, 我们常用两个积分符号把二重积分表示为$${\iint }_{(\sigma )}f(x,y)d\sigma =\underset{d\to 0}{\lim }\sum _{k=1}^{n}f({\mu }_k,{\eta }_k)\Delta {\sigma }_k$$
  其中$(\sigma )$是二重积分的积分域, $d\sigma$称为面积微元
• 如果$(\Omega )$为一条平面(或空间)的曲线弧段$(C)$, 那么$f$就是定义在弧段$(C)$上的二元(或三元)函数, $\Delta {\Omega }_k$就是子弧段的弧长$\Delta s_k$, 于是积分式可具体写成$${\int }_{(C)}f(x,y)ds=\underset{k=1}{\overset{n}{\lim }}f({\xi }_k,{\eta }_k)\Delta s_k$$
  称为$f$在曲线段$(C)$上对弧长的曲线积分, 也称第一型线积分
• 如果$(\Omega )$为三维空间的区域(V), 那么f就是定义在(V)上的三元函数, $\Delta {\Omega }_k$就是子区域的体积$\Delta V_k$. 通常使用三个积分符号来表示$${\iiint }_{(V)}f(x,y,z)dV=\underset{d\to 0}{\lim }\sum _{k=1}^{n}f({\xi }_k,{\eta }_k,{\zeta }_k)\Delta V_k$$
  称为$f$在区域$(V)$上的三重积分, 其中$({\xi }_k,{\eta }_k,{\zeta }_k)$为点$M_k$的直角坐标, $(V)$使三重积分的积分域, $dV$称为体积微元.

积分存在的条件和性质

• 不论$(\Omega )$如何划分, 点$M_k$在$(\Delta {\Omega }_k)$中如何选取, 当所有$(\Delta {\Omega }_k)$的直径的最大值$d\to 0$时, 上述和式都趋于同一常数, 那么称函数$f$在$(\Omega )$上可积. 可以证明, 若$(\Omega )$是有界笔记且可度量, $f\in C((\Omega ))$, 则$f$在$(\Omega )$上一定可积.
• 线性性质
• 对积分域的可加性
• 积分不等式
• 中值定理: 设$f\in C((\Omega )),(\Omega )$为一有界连通闭集, 则在$(\Omega )$上至少存在一点P, 使$${\int }_{(\Omega )}f(M)d\Omega =f(P)\Omega$$

直角坐标系二重积分的计算法

• x型区域: 设 ( σ ) = { ( x , y )   ∣   a ≤ x ≤ b , y 1 ( x ) ≤ x ≤ y 2 ( x ) } (sigma)={(x,y) | aleq xleq b,y_1(x)leq xleq y_2(x)} (σ)={(x,y) ∣ a≤x≤b,y1​(x)≤x≤y2​(x)},

三重积分的计算

• 球面坐标: 直角坐标到球面坐标的变换公式为$$\begin{gathered} x=r\sin \phi \cos \theta \\ y=r\sin \phi \sin \theta \\ z=r\cos \phi \\ r\ge 0,0\le \phi \le \pi ,0\le \theta \le 2\pi \end{gathered}$$
  体积微元是$$\frac{\partial (x,y,z)}{\partial (r,\phi ,\theta )}=r^2\sin \phi drd\phi d\theta$$
• 例题:
  1. 求曲面$(x^2+y^2+z^2{)}^2=a^{3}z(a>0)$所围立体体积.
  2. 求$I={\iiint }_{\Omega }\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}}dV,\Omega :\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}\le 1$
     分析: 可利用球面坐标, 设$x=ar\sin \phi \cos \theta ,y=br\sin \phi \sin \theta ,z=cr\cos \phi$
  3. 求$x=\sqrt{y-z^2},\frac{1}{2}\sqrt{y}=x,y=1$所围成的立体体积.
     分析: 要点在于如何切割和计算范围. 本题可以在$x=1/2$处切割, 恰好分为两个可计算的区域. 另外, 求变量范围时, 注意某坐标为应为定值时, 直接带入计算范围即可.
  4. 由$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=-1,\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$所围成的立体体积.
     分析: 利用柱面坐标, 只计算上半部分即可
  5. 计算${\iiint }_{(V)}|\sqrt{x^2+y^2+z^2}-1|dV,(V)$由$z=\sqrt{x^2+y^2},z=1$围成.
     分析: 讨论范围, 分为球内和球外, 分别计算范围即可
  6. 计算${\iiint }_{(V)}(x+y+z{)}^{2}dV,(V)$为椭球体$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}\le 1$.
     分析: 首先应去除积分为0的项, 在计算剩余项的积分, 用到椭圆面积公式.

含参变量的积分与反常重积分

• 含参变量积分定义: 记$D=[a,b]\times [c,d]$. 如果$f\in C(D),$那么对任一固定$y\in [c,d]$,积分$$F(y)={\int }_a^{b}f(x,y)dx$$存在, 且将随y的变化而变化, 我们称上积分为含参变量y的积分, 它是参变量y的函数.
• 连续性: 若$f\in C(D)$, 则$$F(y)={\int }_a^{b}f(x,y)dx$$在区间$[c,d]$连续.
• 可导性: 若$f\in C(D),f_y\in C(D)$, 则$$F(y)={\int }_a^{b}f(x,y)dx$$在$[c,d]$上有连续的导数, 且求导和积分可交换顺序. 即$$F^{\prime }(y)=\frac{d}{dy}{\int }_a^{b}f(x,y)dx={\int }_a^b\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}dx$$
• 积分顺序交换性: 若$f\in C(D),$ 则$$\begin{gathered} F(y)={\int }_a^{b}f(x,y)dx在[c,d]可积 \\ G(x)={\int }_c^{d}f(x,y)dy在[a,b]可积. \end{gathered}$$
  且$${\int }_c^b({\int }_a^{b}f(x,y)dx)dy={\int }_a^b({\int }_c^{d}f(x,y)dy)dx$$
• 设$f(x,y)\in C(D).x_i(y)\in C[c,d],i=1,2$,且其值域均为$[a,b]$.则$$F(y)={\int }_{x_1(y)}^{x_2(y)}f(x,y)dx$$必在$[c,d]$上连续
• 若$f(x,y),f_y(x,y)$均在$D$上连续, $x_1(y),x_2(y)$的值域均为$[a,b]$, 且他们都在$[c,d]$上可导, 则$$F(y)={\int }_{x_1(y)}^{x_2(y)}f(x,y)dx$$也在$[c,d]$上可导. 且有$$F^{\prime }(y)={\int }_{x_1(y)}^{x_2(y)}{f}_y(x,y)dx+f[x_2(y),y]x_2^{\prime }(y)-f[x_1(y),y]x_1^{\prime }(y).$$
• 例题:
  1. 计算积分${\int }_0^1\frac{x^b-x^a}{\ln x}dx,(a,b)>0$
     分析: 直接求积分不好求, 考虑化成二重积分. $x^y$对y的导数为$x^y/\ln x$, 原式可化为${\int }_0^{1}dx{\int }_a^b{x}^{y}dy$,再交换积分顺序计算即可.
  2. 计算积分$I={\int }_0^1\frac{\ln (1+x)}{1+x^2}dx$.

第一型线积分与面积分

• 第一型线积分: 曲线积分的值与积分路径( C )的方向无关, 我们把这种曲线积分称为对弧长的线积分, 也称第一型线积分.
• 计算公式: 设有一有界简单光滑曲线©, 其参数方程为$$x=x(t),y=y(t),z=z(t).(\alpha \le t\le \beta )$$
  若函数$f(x,y,z)$在C上连续, 则$${\int }_{(C)}f(x,y,z)ds={\int }_{\alpha }^{\beta }f[x(t),y(t),z(t)]\sqrt{{\dot{x}}^2(t)+{\dot{y}}^2(t)+{\dot{z}}^2(t)}dt$$

第二型线积分与面积分

第二型线积分:

• 定义: 设L为xoy平面内从A到B的一条又向光滑弧, 在L上定义了一个向量函数$\vec{F}(x,y)=(P(x,y),Q(x,y))$,若对L的任意分割和在局部弧段上取任意点, 极限$$\underset{\lambda \to 0}{\lim }\sum _{k=1}^n[P({\xi }_k,{\eta }_k)\Delta x+Q({\xi }_k,{\eta }_k)\Delta y]={\int }_{L}P(x,y)dx+Q(x,y)dy$$都存在, 则称此极限为函数$\vec{F}(x,y)$在又向曲线弧L上对坐标的曲线积分, 或称第二类曲线积分. 其中$P(x,y),Q(x,y)$称为被积函数, L称为积分弧段或积分曲线.

第二型面积分

• 定义: 设在向量场$A\text{A}A(M)$中有一可求面积的有向曲面, 指定它的一侧. 把曲面任意划分成n小片$(\Delta S_1),(\Delta S_2)...(\Delta S_n)$,任取一点$$A\text{A}A(M_k)\cdot {e\text{e}e}_n(M_k)\Delta S_k(k=1,2,...n)$$
  其中${e\text{e}e}_n$为曲面在点$M_k$处指向给定测的单位法向量.$\Delta S_k$表示微元面积.
  作和式$$\sum _{k=1}^{n}A\text{A}A(M_k)\cdot {e\text{e}e}_n(M_k)\Delta S_k$$
  如果不论曲面$S$如何划分, 点$M_k$怎样选取, 当个小曲面直径最大值趋于零时上述和式都趋于同一常数, 则称此极限值为向量场$A\text{A}A(M)$沿有向曲面(S)的第二型曲面积分, 简称第二型面积分, 记作$${\iint }_{(S)}A\text{A}A(M)\cdot dS\text{dS}dS=\underset{d\to 0}{\lim }\sum _{k=1}^{n}A\text{A}A(M_k)\cdot {e\text{e}e}_n(M_k)\Delta S_k$$
  其中$dS\text{dS}dS={e\text{e}e}_{n}dS$称为曲面面积微元向量.

Green公式

• 单连通域: 若区域$\sigma$内任意一条闭曲线的内部全部属于$\sigma$, 或者说$\sigma$内任意一闭曲线均可在$\sigma$内连续变形缩小成$\sigma$内的一点, 则称$\sigma$是一单连通域, 否则称为复连通域.
• 格林公式: 设平面内有界比区域$\sigma$由一条分段光滑的简单闭曲线所围成, $\sigma$的边界即为$C$, 函数$P,Q\in C^{(1)}((\sigma ))$,则下述公式成立
  $${\iint }_{(\sigma )}(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})d\sigma ={\oint }_{(+C)}P(x,y)dx+Q(x,y)dy$$
• 例题
  1. 计算${\int }_L(x^2+3y)dx+(y^2-x)dy$, 其中L是上半圆周$y=\sqrt{4x-x^2}$从$(0,0)$到$(4,0)$.
     分析: 为使用格林公式, 可将半圆补全在减去.
  2. 计算${\int }_L\frac{xdy-ydx}{x^2+y^2}$, 其中L是无重点且不过原点的分段光滑正向闭曲线.
     分析: 需讨论图形是否包含远点的情况. 当不包含原点时, 直接为0, 包含原点时, 应围绕远点作圆域, 令该圆域半径趋于0, 计算此时的第二型线积分, 直接用L正向积分减去半径趋于0的圆域积分得到闭区域的积计算得零, 再计算圆域积分.

平面曲线积分与路径无关的等价条件:

• 定理: 设D为单连通区域, 函数P(x,y),Q(x,y)再D内具有一阶连续偏导数, 则以下四个条件等价:

1. 沿D中任意光滑闭曲线, 有${\oint }_{L}Pdx+Qdy=0$
2. 对D中任一分段光滑曲线$L_1$曲线积分${\int }_{L}Pdx+Qdy$与路径无关, 只与起止点有关.
3. $Pdx+Qdy$在D内有某一函数$u(x,y)$的全微分, 即$du(x,y)=Pdx+Qdy$
4. 在D内每一点都有$\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$

最后

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