积分第二中值定理

设 f(x) 在 [a,b] 上可积， g(x) 在 [a,b] 上单调，
则存在 ξ∈[a,b], 使得
∫baf(x)g(x)dx=g(a)∫ξaf(x)dx+g(b)∫bξf(x)dx

证明：

若 g(a)=g(b) ，则 g(x)=g(a),∀x∈[a,b], 命题显然成立。
因此下面只需考虑 g(a)≠g(b) 的情况。
因为 ∫baf(x)g(x)dx=g(a)∫ξaf(x)dx+g(b)∫bξf(x)dx
⇔∫baf(x)[g(x)−g(b)]dx=[g(a)−g(b)]∫ξaf(x)dx

⇔∫baf(x)g(x)−g(b)g(a)−g(b)dx=∫ξaf(x)dx,
令 h(x)=g(x)−g(b)g(a)−g(b),,x∈[a,b], 则 h(a)=1,h(b)=0,h(x) 在 [a,b] 单调不增。
于是命题等价于 ∫baf(x)h(x)dx=∫ξaf(x)dx
令 F(x)=∫xaf(t)dt, 则命题等价于 ∫baf(x)h(x)dx=F(ξ)
易知 F(a)=0,F(x) 在 [a,b] 连续，因此 F(x) 在 [a,b] 存在最大值 M 最小值 m 。

对于 [a,b] 上的任意一个划分 P:a=x0<⋯<xn=b,
∑ni=1h(xi)∫xixi−1f(x)dx
=∑ni=1[F(xi)−F(xi−1)]h(xi)
=∑ni=1F(xi)h(xi)−∑ni=1F(xi−1)h(xi)
=∑ni=1F(xi)h(xi)−∑n−1i=0F(xi)h(xi+1)
=∑n−1i=0F(xi)h(xi)−∑n−1i=0F(xi)h(xi+1)−F(x0)h(x0)+F(xn)h(xn)
=∑n−1i=0F(xi)[h(xi)−h(xi+1)]−F(x0)h(x0)+F(xn)h(xn)
=∑n−1i=0F(xi)[h(xi)−h(xi+1)]−F(a)h(a)+F(b)h(b)
=∑n−1i=0F(xi)[h(xi)−h(xi+1)]

由于 m=m∑n−1i=0[h(xi)−h(xi+1)]
≤∑n−1i=0F(xi)[h(xi)−h(xi+1)]
≤M∑n−1i=0[h(xi)−h(xi+1)]=M
因此 m≤∑ni=1h(xi)∫xixi−1f(x)dx≤M, (1)

f(x) 在 [a,b] 上可积，因此有界，于是 ∃M′>0,∀x∈[a,b],|f(x)|<M′,
则对于任意一个 ε>0, 存在 δ=εM′, 使得对于 [a,b] 上的任意一个划分 P:a=x0<⋯<xn=b, 只要 λ=max{Δxi:i∈N,1≤i≤n}<δ, 便有
∣∣∫baf(x)h(x)dx−∑ni=1h(xi)∫xixi−1f(x)dx∣∣
=∣∣∑ni=1∫xixi−1f(x)h(x)dx−∑ni=1h(xi)∫xixi−1f(x)dx∣∣
=∣∣∑ni=1∫xixi−1f(x)[h(x)−h(xi)]dx∣∣
≤∑ni=1∣∣∫xixi−1f(x)[h(x)−h(xi)]dx∣∣
≤∑ni=1∫xixi−1|f(x)|[h(x)−h(xi)]dx
≤M′∑ni=1∫xixi−1[h(x)−h(xi)]dx
≤M′∑ni=1∫xixi−1[h(xi−1)−h(xi)]dx
=M′∑ni=1[h(xi−1)−h(xi)]Δxi
<M′εM′∑ni=1[h(xi−1)−h(xi)]
=ε
因此 limλ→0∑ni=1h(xi)∫xixi−1f(x)dx=∫baf(x)h(x)dx,
(2)
由(1), (2)可知， m≤∫baf(x)h(x)dx≤M,
因此存在 ξ∈[a,b], 使得
F(ξ)=∫baf(x)h(x)dx

最后

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