模算术和求余

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我是靠谱客的博主虚拟野狼，最近开发中收集的这篇文章主要介绍模算术和求余，觉得挺不错的，现在分享给大家，希望可以做个参考。

对于整型数a，b来说，取模运算或者求余运算的方法都是：

1.求整数商： c = a/b;

2.计算模或者余数： r = a - c*b.

求模运算和求余运算在第一步不同: 取余运算在取c的值时，向0 方向舍入(fix()函数)；而取模运算在计算c的值时，向负无穷方向舍入(floor()函数)。

例如：计算-7 Mod 4

那么：a = -7；b = 4；

第一步：求整数商c，如进行求模运算c = -2（向负无穷方向舍入），求余c = -1（向0方向舍入）；

第二步：计算模和余数的公式相同，但因c的值不同，求模时r = 1，求余时r = -3。

归纳：当a和b符号一致时，求模运算和求余运算所得的c的值一致，因此结果一致。

当符号不一致时，结果不一样。求模运算结果的符号和b一致，求余运算结果的符号和a一致。

另外各个环境下%运算符的含义不同，比如c/c++，java 为取余，而python则为取模。

给定一个正整数p，任意一个整数n，一定存在等式：

n = kp + r ；

其中 k、r 是整数，且 0 ≤ r < p，则称 k 为 n 除以 p 的商，r 为 n 除以 p 的余数。

对于正整数 p 和整数 a,b，定义如下运算：

取模运算：a % p（或a mod p），表示a除以p的余数。

模p加法：，其结果是a+b算术和除以p的余数。

模p减法：，其结果是a-b算术差除以p的余数。

模p乘法：，其结果是 a * b算术乘法除以p的余数。

说明：

1. 同余式：正整数a，b对p取模，它们的余数相同，记做或者a ≡ b (mod p)。

2. n % p 得到结果的正负由被除数n决定,与p无关。例如：7%4 = 3， -7%4 = -3， 7%-4 = 3， -7%-4 = -3。

模运算与基本四则运算有些相似，但是除法例外。其规则如下：

((a*b) % p * c)% p = (a * (b*c) % p) % p （6）

(a * b) % p = (b * a) % p （8）

分配律：

(a+b) % p = ( a % p + b % p ) % p （9）

((a +b)% p * c) % p = ((a * c) % p + (b * c) % p) % p （10）

若a≡b (% p)，则对于任意的c，都有(a + c) ≡ (b + c) (%p)；（11）
若a≡b (% p)，则对于任意的c，都有(a * c) ≡ (b * c) (%p)；（12）
若a≡b (% p)，c≡d (% p)，则 (a + c) ≡ (b + d) (%p)，(a - c) ≡ (b - d) (%p)，

(a * c) ≡ (b * d) (%p)，(a / c) ≡ (b / d) (%p)；（13）