Codeforces Round #791 (Div. 2) 部分题解

A AvtoBus

不难发现如果我们要车尽可能多，那么我们就需要最大化 $4$ 的数目，尽可能少的情况就是最大化 $6$ 的数目，我们同时发现 $2$ 辆 $6$ 轮车等价于 $3$ 辆 $4$ 轮车，有了这两个性质就不难解决。

B Stone Age Problem

考虑两种修改对于答案的影响，由于我们只关注序列权值的总和，我们只要记录什么时候进行了修改，在单点修改时判断下即可。

C Rooks Defenders

不难发现如果要将一个矩阵填满，那么有且仅有所有行均被覆盖或者所有列均被覆盖才合法，所以我们对于行和列分别维护线段树，以行举例，当一行上棋子数目不为零时就 $+1$ ，为零时就 $-1$即可。

D Toss a Coin to Your Graph…

首先如果要让最大值最小，我们可以考虑二分这个最大值 $M$，这样我们对于一个图 $G$ 就有了一些权值大于 $M$ 的点是不能进行选择的，我们将这些点从图中删去得到一个子图 $S$，这个图上是可以随便走的。问题就转化成了在图 $S$ 上去找一条包含点数为 $k$ 的路径。
首先如果图 $S$ 中有环，那么就一定合法，判环的代码如下：

void findcur(int x){
    col[x]=1;
    for(auto v:e[x]){
        if(!tag[v]) continue;//tag[v]=false当且仅当val[v]>M
        if(col[v]==1){
            flag=true;
            break;
        }
        else if(col[v]==-1) continue;
        else findcur(v);
    }
    col[x]=-1;//表示以x为起点的路径上没有环
}

如果没有环我们就记忆化搜索下最长路径与 $k$ 比较即可。

E Typical Party in Dorm

我们首先考虑一个左端点为 $l$，右端点为 $r$ 的子串对于答案的贡献：
我们将该字串分为若干点对，其中 $l$ 与 $r$ 配对，$l+1$ 与 $r-1$ 配对，依次类推。
我们令 $S_q$ 表示某次询问给出的字符集。
这样我们考虑其中的一对 $a$ 和 $b$：
当 $s[a]=?$ 并且 $s[b]=?$ 时，我们可以任取给出集合中的字符。
当 $s[a]=?$ 并且 $s[b]=t(t\in S_q)$ 时，那么只有一种合法情况，会产生一个限制条件：集合 $S_q$ 中必须含有字符 $t$，反过来同理。
当二者都不为问号时，如果相等则没有影响，如果不等则子串 $(l,r)$ 对答案将不产生贡献。
我们考虑子串以外的字符，不难发现每一个 $?$ 都将对于答案产生 $|S_q|$ 的贡献。
这样我们定义 $f$ 为内部产生的方案数，$d$ 为外部产生的方案数，对于每个串我们可以确定一个三元组 $(f,d,state)$ ，其中 $state$ 为一个二进制数，其第 $i$ 位为 $1$ 表示字符 ${}^{\prime }{a}^{\prime }+i$ 是否必须包含于询问集合。
这样我们定义 $c[k][state]$ 表示当限制条件构成的集合大小为 $k$ 时，其二进制表示为 $state$ 时的方案数，这个我们可以枚举 $l,r,k$ 来进行计算。
这样我们考虑我们对于一个询问，其字符集为 $Q$，方案数就是：
$$\sum _{i\in Q}c[bitcount(i)][i]$$
这个我们枚举子集可以 $3^{\alpha }$ 进行计算，不过并不能通过本题。
题解给出了一种做法：
我们定义 S ( c u r , i ) = { x ∣ x ∈ c u r 并 且 x ⊕ c u r ≤ 2 i } S(cur,i)={ x| xin cur 并且 x oplus cur leq 2^i } S(cur,i)={x∣x∈cur并且x⊕cur≤2i}
也就是 $x$ 与 $cur$ 只有 $0$ 到 $i$ 位可以不同，并且 $x$ 是 $cur$ 的子集。
我们有以下转移：
当 $cur$ 的第 $i$ 位为 $0$ 的时候，$S(cur,i)=S(cur,i-1)$
当 $cur$ 的第 $i$ 位为 $1$ 的时候，$S(cur,i)=S(cur,i-1)\cup S(cur\oplus 2^i,i-1)$
这样就大大的提升了枚举的效率，将复杂度降到了$\alpha 2^{\alpha }$。
代码如下：

for(int k=1;k<M;++k){
        for(int i=0;i<M;++i){
            for(int cur=(1<<M)-1;cur>=0;--cur){
                if(cur&(1<<i)) (F[k][cur]+=F[k][cur^(1<<i)])%=MOD;
            }
        }
    }

预处理后对于每个询问的答案就是 $F[|Q|][stat{e}_Q]$，复杂度为 $O({\alpha }^2{2}^{\alpha }+\alpha n^2)$。

最后

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