概述
图像锐化处理
- 目的：突出图像的细节，或者增强被模糊了的细节，增强
图像边缘,便于提取目标物体的边界 - 图像边缘的特点：在边缘上的灰度变化比较平缓，而在边缘两侧灰度变化较快，梯度值较大。通常是局部不连续的，且亮度变化最显著的部分。
锐化的基本方法
微分运算
在数学上对于离散的数据，使用差分来定义一元函数
f
(
x
)
f(x)
f(x)的一阶微分,公式如下
∂
f
∂
x
=
f
(
x
+
1
)
−
f
(
x
)
frac{partial f}{partial x}=f(x+1)-f(x)
∂x∂f=f(x+1)−f(x)
再用差分定义一元函数
f
(
x
)
f(x)
f(x)的二阶微分，则公式如下
∂
2
f
∂
x
2
=
f
(
x
+
1
)
+
f
(
x
−
1
)
−
2
f
(
x
)
frac{partial^2 f}{partial x^2}=f(x+1)+f(x-1)-2f(x)
∂x2∂2f=f(x+1)+f(x−1)−2f(x)
上述公式是一元的。同理，我们也可以推导到二元，不过对于二元，就变成所谓的偏导数了
单向微分运算
公式如下(右列-左列)
G
(
i
,
j
)
=
f
(
i
,
j
)
−
f
(
i
−
1
,
j
)
G(i,j)=f(i,j)-f(i-1,j)
G(i,j)=f(i,j)−f(i−1,j)
或者，如下(下一行-上一行)
G
(
i
,
j
)
=
f
(
i
,
j
)
−
f
(
i
−
1
,
j
)
G(i,j)=f(i,j)-f(i-1,j)
G(i,j)=f(i,j)−f(i−1,j)
我们可以用代码模拟实现一下，当我们对图像进行上述两种微分，会产生什么效果?
#右列-左列
def margin_RCL(self):
img_buf=np.copy(self.Img)
for x in range(1,len(self.Img[0])):
img_buf[:,x,:]=np.abs(self.Img[:,x,:]-self.Img[:,x-1,:])
self.Img=img_buf
#下-上
def margin_DCU(self):
img_buf=np.copy(self.Img)
for y in range(0,len(self.Img)-1):
img_buf[y,:,:]=np.abs(self.Img[y+1,:,:]-self.Img[y,:,:])
self.Img=img_buf
原图如下
横向微分算法跑完之后，图像如下
纵向微分计算之后
可以看到，我们成功的找到了边界
微分运算的作用：微分运算的结果反映了图像亮度变化率的大小；像素值保持不变的区域相减结果为0，即像素为黑；像素值变化剧烈的区域，相减结果得到较大的变化率，像素灰度值差别越大，则得到的像素就越亮
双向一次微分
其公式如下:
G
(
i
,
j
)
=
[
f
(
i
,
j
)
−
f
(
i
,
j
−
1
)
]
2
+
[
f
(
i
,
j
)
−
f
(
i
−
1
,
j
)
]
2
G(i,j)=sqrt {[f(i,j)-f(i,j-1)]^2+[f(i,j)-f(i-1,j)]^2}
G(i,j)=[f(i,j)−f(i,j−1)]2+[f(i,j)−f(i−1,j)]2
#双向一次微分
def margin_DoubleDere(self):
img_buf=np.copy(self.Img)
for y in range(1,len(self.Img)):
for x in range(1,len(self.Img[y])):
img_buf[y,x]=np.sqrt((self.Img[y,x,:]-self.Img[y,x-1,:])**2+(self.Img[y,x,:]-self.Img[y-1,x,:])**2)
self.Img=img_buf
效果图如下
梯度运算
▽
f
=
[
∂
f
∂
x
∂
f
∂
y
]
bigtriangledown f=begin{bmatrix} frac{partial f}{partial x}\ frac{partial f}{partial y} end{bmatrix}
▽f=[∂x∂f∂y∂f]
因为上述为矢量，不好处理，所以我们将其转化为下述标量
▽
f
≈
∣
G
x
∣
+
∣
G
y
∣
bigtriangledown fapprox |G_x|+|G_y|
▽f≈∣Gx∣+∣Gy∣
或者
▽
f
≈
(
G
x
2
+
G
y
2
)
1
2
bigtriangledown fapprox (G_x^2+G_y^2)^{frac{1}{2}}
▽f≈(Gx2+Gy2)21
各种算子
- Robert提出的交叉微分算子，如下
[ Z 1 Z 2 Z 3 Z 4 Z 5 Z 6 Z 7 Z 8 Z 9 ] begin{bmatrix} Z_1 & Z_2 &Z_3 \ Z_4 &Z_5 & Z_6\ Z_7 &Z_8 & Z_9 end{bmatrix} ⎣⎡Z1Z4Z7Z2Z5Z8Z3Z6Z9⎦⎤
G x = Z 9 − Z 5 G y = Z 8 − Z 6 ▽ f ≈ ∣ G x ∣ + ∣ G y ∣ G_x=Z_9-Z_5\ G_y=Z_8-Z_6\ bigtriangledown f approx |G_x|+|G_y| Gx=Z9−Z5Gy=Z8−Z6▽f≈∣Gx∣+∣Gy∣
- Sobel算子
[ Z 1 Z 2 Z 3 Z 4 Z 5 Z 6 Z 7 Z 8 Z 9 ] begin{bmatrix} Z_1 & Z_2 &Z_3 \ Z_4 &Z_5 & Z_6\ Z_7 &Z_8 & Z_9 end{bmatrix} ⎣⎡Z1Z4Z7Z2Z5Z8Z3Z6Z9⎦⎤
[ − 1 − 2 − 1 0 0 0 1 2 1 ] begin{bmatrix} -1 & -2 &-1\ 0&0& 0\ 1&2& 1 end{bmatrix} ⎣⎡−101−202−101⎦⎤
[ − 1 0 1 − 2 0 2 − 1 0 1 ] begin{bmatrix} -1 & 0 &1\ -2&0& 2\ -1&0& 1 end{bmatrix} ⎣⎡−1−2−1000121⎦⎤
G
x
=
(
Z
7
+
2
Z
8
+
Z
9
)
−
(
Z
1
+
2
Z
2
+
Z
3
)
G
y
=
(
Z
3
+
2
Z
6
+
Z
9
)
−
(
Z
1
+
2
Z
4
+
Z
7
)
G_x=(Z_7+2Z_8+Z_9)-(Z_1+2Z_2+Z_3)\ G_y=(Z_3+2Z_6+Z_9)-(Z_1+2Z_4+Z_7)
Gx=(Z7+2Z8+Z9)−(Z1+2Z2+Z3)Gy=(Z3+2Z6+Z9)−(Z1+2Z4+Z7)
Sorbel算子既有平滑作用又有微分作用
- Prewitt算子
模板如下
[ − 1 − 1 − 1 0 0 0 1 1 1 ] begin{bmatrix} -1 & -1 &-1\ 0&0& 0\ 1&1& 1 end{bmatrix} ⎣⎡−101−101−101⎦⎤
[
−
1
0
1
−
1
0
1
−
1
0
1
]
begin{bmatrix} -1 & 0 &1\ -1&0& 1\ -1&0& 1 end{bmatrix}
⎣⎡−1−1−1000111⎦⎤
G
x
=
(
Z
7
+
Z
8
+
Z
9
)
−
(
Z
1
+
Z
2
+
Z
3
)
G
y
=
(
Z
3
+
Z
6
+
Z
9
)
−
(
Z
1
+
Z
4
+
Z
7
)
G_x=(Z_7+Z_8+Z_9)-(Z_1+Z_2+Z_3)\ G_y=(Z_3+Z_6+Z_9)-(Z_1+Z_4+Z_7)
Gx=(Z7+Z8+Z9)−(Z1+Z2+Z3)Gy=(Z3+Z6+Z9)−(Z1+Z4+Z7)
- 拉普拉斯算子(二次微分)
对于x方向,如下
∂ 2 f ∂ x 2 = f ( x + 1 ) + f ( x − 1 ) − 2 f ( x ) frac{partial^2 f}{partial x^2}=f(x+1)+f(x-1)-2f(x) ∂x2∂2f=f(x+1)+f(x−1)−2f(x)
对于y方向,如下
∂ 2 f ∂ y 2 = f ( y + 1 ) + f ( y − 1 ) − 2 f ( y ) frac{partial^2 f}{partial y^2}=f(y+1)+f(y-1)-2f(y) ∂y2∂2f=f(y+1)+f(y−1)−2f(y)
上述结果，相加，既得如下
▽
2
f
=
f
(
x
+
1
,
y
)
+
f
(
x
−
1
,
y
)
+
f
(
x
,
y
+
1
)
+
f
(
x
,
y
−
1
)
−
4
f
(
x
)
bigtriangledown^2 f=f(x+1,y)+f(x-1,y)+f(x,y+1)+f(x,y-1)-4f(x)
▽2f=f(x+1,y)+f(x−1,y)+f(x,y+1)+f(x,y−1)−4f(x)
所以，我们推导出，其模板如下
[
0
1
0
1
−
1
1
0
1
0
]
begin{bmatrix} 0 & 1 & 0\ 1 & -1 &1 \ 0 &1 &0 end{bmatrix}
⎣⎡0101−11010⎦⎤
所以，我们可以用上述模板，通过用卷积的方法，来求得图像的二次微分。该算子强化突变，弱化慢变
如果我们想保持物体背景，该怎么办呢？
我们可以将原始图像和对应的拉普拉斯图像叠加在一起，这样既可以保持锐化效果，又能复原背景信息
g
(
x
)
=
{
f
(
x
,
y
)
−
▽
2
f
(
x
,
y
)
中
心
系
数
为
负
f
(
x
,
y
)
+
▽
2
f
(
x
,
y
)
中
心
系
数
为
正
g(x)=left{begin{matrix} f(x,y)-triangledown^2f(x,y) &中心系数为负\ f(x,y)+triangledown^2f(x,y) &中心系数为正 end{matrix}right.
g(x)={f(x,y)−▽2f(x,y)f(x,y)+▽2f(x,y)中心系数为负中心系数为正
我们可以对其进行化简，得到如下公式
g
(
x
,
y
)
=
5
f
(
x
,
y
)
−
[
f
(
x
+
1
,
y
)
+
f
(
x
−
1
,
y
)
+
f
(
x
,
y
+
1
)
+
f
(
x
,
y
−
1
)
]
g(x,y)=5f(x,y)-[f(x+1,y)+f(x-1,y)+f(x,y+1)+f(x,y-1)]
g(x,y)=5f(x,y)−[f(x+1,y)+f(x−1,y)+f(x,y+1)+f(x,y−1)]
通过
g
(
x
,
y
)
g(x,y)
g(x,y)的表达式，我们可以求出其模板
[
0
−
1
0
−
1
5
−
1
0
−
1
0
]
begin{bmatrix} 0 &-1 &0 \ -1 & 5 &-1 \ 0&-1 & 0 end{bmatrix}
⎣⎡0−10−15−10−10⎦⎤
-
高斯-拉普拉斯算子
这种算子是效果更好的边缘检测器，把高斯平滑器和拉普拉斯锐化结合起来。总体效果就是，先平滑去噪声，然后再进行边缘检测，
高频提升滤波器微分运算可以用来求信号的变化率，可以加强高频分量信号。但是微分处理后的图像非常暗，如果我们想要保持物体的背景，那么就得使用这种滤波器了
其公式如下
g ( x , y ) = a f ( x , y ) ± ▽ f ( x , y ) g(x,y)=af(x,y)pm bigtriangledown f(x,y) g(x,y)=af(x,y)±▽f(x,y)
自适应检测
因为一个物体的边界方向有很多，所以我们可以采用多个不同方向的算子来计算。然后找出各个算子所计算结果的最大值即为最终结果。
实现步骤基本如下：
- 将所有的边缘模板逐一作用于图像中的每一个像素,产生最大输出值的边缘模板方向,表示该点边缘的方向，
- 如果所有方向上的边缘模板接近于零，则该点处没有边缘;
- 如果所有方向上的边缘模板输出值都近似相等，没有可靠边缘方向。
最后
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