高斯分布基础知识及scipy实现

概率密度函数(pdf)

随机变量$X$的高斯分布的概率密度函数(probability density function,pdf)：
$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}},-\infty <x<\infty$$
其中$\mu ,\sigma (\sigma >0)$为常数，记为$X\sim N(\mu ,\sigma )$

累计分布函数(cdf)

高斯分布的累积分布函数(Cumulative distribution function,cdf)为：
$$F(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{\int }_{-\infty }^x{e}^{-\frac{(t-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}dt$$
求的为高斯分布的曲线在$X<x$下的面积，也就是概率 P { X < x } P{X<x} P{X<x}。

特别的，如果$X\sim N(0,1)$服从标准高斯分布，则$F(x)$记为$\Phi (x)$:
$$\Phi (x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{\int }_{-\infty }^x{e}^{-\frac{t^2}{2}}dt$$

引理：若$X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$，则$Z=\frac{X-\mu }{\sigma }\sim N(0,1)$
于是，若$X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$,其分布函数可以写为
$$F(x)=P(X<x)=P(\frac{X-\mu }{\sigma }<\frac{x-\mu }{\sigma })=\Phi (\frac{x-\mu }{\sigma })$$

期望

根据连续性概率密度函数的期望的定义：
$$E(X)={\int }_{-\infty }^{\infty }xf(x)dx$$
$$\begin{gathered} {\int }_{-\infty }^{\infty }xf(x)dx={\int }_{-\infty }^{\infty }x\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}dx \\ ={\int }_{-\infty }^{\infty }(x-\mu +\mu )\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}dx \\ ={\int }_{-\infty }^{\infty }(x-\mu )\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}dx+{\int }_{-\infty }^{\infty }\mu \frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}dx \\ =-{\sigma }^2{\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}d(-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2})+\mu {\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2\sigma }}dx \\ =\frac{-\sigma }{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}{|}_{-\infty }^{\infty }+\mu F(\infty ) \end{gathered}$$
若求解区间为$(-\infty ,\infty )$，则期望$E(X)=0+\mu =\mu$
若求解区间为$(-\infty ,0)$，则为计算条件期望$$\begin{gathered} E(X|X<0)=\frac{{\int }_{-\infty }^{0}xf(x)dx}{F(0)}=\frac{{\int }_{-\infty }^{0}xf(x)dx}{{\int }_{-\infty }^{0}f(x)dx} \\ =\frac{\frac{-\sigma }{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{{\mu }^2}{2{\sigma }^2}}+\mu \Phi (\frac{0-\mu }{\sigma })}{\Phi (\frac{0-\mu }{\sigma })} \\ =\mu +\frac{-\sigma }{\sqrt{2\pi }\sigma \Phi (\frac{0-\mu }{\sigma })}{e}^{-\frac{{\mu }^2}{2{\sigma }^2}} \end{gathered}$$

scipy库对高斯分布的使用

参考文档：https://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/generated/scipy.stats.norm.html

这里介绍3个常用的函数：

pdf(x, loc=0, scale=1):x的概率密度函数值
cdf(x, loc=0, scale=1):x的累计分布函数值
ppf(q, loc=0, scale=1)：对cdf的反转的，累计分布函数值对应的x

from scipy.stats import norm

print(norm.pdf(0))  # f(0)=0.3989422804014327
print(norm.cdf(0))  # F(0)=0.5
print(norm.ppf(0.5))  # F_inverse(0.5)=0

最后

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