8.10 迹运算

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　　迹运算返回的是矩阵对角元素的和：

T r (A) = \sum i A i, i

$mathrm{Tr}(A)=sum_iA_{i,i}$
迹运算因为很多原因而有用。若不使用求和符号，有些矩阵运算很难描述，而通过矩阵乘法和迹运算符号，可以清楚地表示。例如，迹运算提供了另一种描述矩阵Frobenius范数的方式：

| | A | | F = T r (A A T) - - - - - - - - \sqrt

$||A||_F=sqrt{mathrm{Tr}(AA^mathrm T)}$
　　用迹运算表示表达式，我们可以使用很多有用的等式巧妙地处理表达式。例如，迹运算在转置运算下是不变的：

T r (A) = T r (A T)

$mathrm{Tr}(A)=mathrm{Tr}(A^mathrm T)$
　　多个矩阵相乘得到的方阵的迹，和将这些矩阵中的最后一个挪到最前面之后相乘的迹是相同的。当然，我们需要考虑挪动之后矩阵乘积依然定义良好：

T r (A B C) = T r (C A B) = T r (B C A)

$mathrm{Tr}(ABC)=mathrm{Tr}(CAB)=mathrm{Tr}(BCA)$
或者更一般地，

T r (\prod i = 1 n F (i)) = T r (F (n) \prod i = 1 n - 1 F (i))

$mathrm{Tr}(prod_{i=1}^nF^{(i)})=mathrm{Tr}(F^{(n)}prod_{i=1}^{n-1}F^{(i)})$
即使循环置换后矩阵乘积得到的矩阵形状变了，迹运算的结果依然不变。例如，假设矩阵

A∈Rm×n $Ain mathbb R^{m times n}$ ，矩阵

B∈Rn×m $Bin mathbb R^{n times m}$ ，我们可以得到

T r (A B) = T r (B A)

$mathrm{Tr}(AB)=mathrm{Tr}(BA)$
尽管

AB∈Rm×m $ABin mathbb R^{m times m}$ 和

BA∈Rn×n $BAin mathbb R^{n times n}$
　　另一个有用的事实是标量在迹运算后仍然是它自己：

a=Tr(a) $a=mathrm{Tr}(a)$ 。

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