浙大《概率与数理统计》第四版证明随机变量X,Y的相关系数的绝对值小于1，及一些疑问

这里的证明方法来自浙大《概率与数理统计》108页：
需证明命题：
$对任意两个随机变量X,Y，证明其相关系数的绝对值小于1。$

证明思路：

1. $先构造a+bX和Y的均方误差的期望E\left\{{\left[Y-\left(a+bX\right)\right]}^2\right\}$
2. $再求出这个期望的最小值是\left(1-{\rho }_{XY}^2\right)D\left(Y\right)$
3. $因为均方误差是大于等于0的值，方差也是大于等于0的值，所以对于等式$
   $$\underset{a,b}{\min }E\left\{{\left[Y-\left(a+bX\right)\right]}^2\right\}=\left(1-{\rho }_{xy}^2\right)D\left(Y\right)$$
   $\left(1-{\rho }_{XY}^2\right)是必须大于0的，所以\left|{\rho }_{xy}\right|\le 1$

具体步骤
1，对于任意两个随机变量$X,Y$，构造
$$\begin{array}{rl}e& =E\left\{{\left[Y-\left(a+bx\right)\right]}^2\right\}\\ & =E\left(Y^2\right)+b^{2}E\left(X^2\right)+a^2-2bE\left(XY\right)+2abE\left(X\right)-2aE\left(Y\right)\end{array}\text{\hspace{1em}(1)}$$
2. 可以将$e$看作是关于$a,b$的函数，那么，根据多元函数求极值的方法，就要分别求$e$关于$a,b$的偏导，并令其等于$0$, 找到满足必要条件的$a,b$的值
$$\{\begin{array}{l}\frac{\partial e}{\partial a}=2a+2bE\left(X\right)-2E\left(Y\right)=0,\\ \\ \frac{\partial e}{\partial b}=2bE\left(X^2\right)-2E\left(XY\right)+2aE\left(X\right)=0.\end{array}\text{\hspace{1em}(2)}$$
求$a,b$的二元一次方程组，得出
$$\begin{array}{rl}{b}_0& =\frac{Cov\left(X,Y\right)}{D\left(X\right)}\\ a_0& =E\left(Y\right)-b_{0}E\left(X\right)=E\left(X\right)-E\left(X\right)\frac{Cov\left(X,Y\right)}{D\left(X\right)}\end{array}\text{\hspace{1em}(3)}$$
3. 将$a_0,b_0$代入式$(1)$中，得到
$$\begin{array}{rl}e& =E\left\{{\left[Y-\left(a+bx\right)\right]}^2\right\}\\ & =D\left[y-a_0-b_{0}X\right]+{\left[E\left(Y-a_0-b_{0}X\right)\right]}^2\\ 由(2)的第一式可得，E\left(Y-a_0-b_{0}X\right)=0& \\ & =D\left(Y-b_{0}X\right)\\ & \\ & =D\left(Y\right)+b_0^{2}D\left(X\right)-2b_{0}Cov\left(X,Y\right)\\ & \\ & =D\left(Y\right)+\frac{Co{v}^2\left(X,Y\right)}{D\left(x\right)}-2\frac{Co{v}^2\left(X,Y\right)}{D\left(x\right)}\\ & \\ & =D\left(Y\right)\left[1-\frac{D\left(X,Y\right)}{D\left(X\right)D\left(Y\right)}\right]\\ & \\ & =\left(1-{\rho }_{XY}^2\right)D\left(Y\right)\end{array}$$
因为由方差的定义可知，方差始终是大于或等于0的值，而且$e$是一个非负随机变量(有平方)的期望，所以$\left(1-{\rho }_{XY}^2\right)$必定大于0，所以$X,Y$的相关系数$|{\rho }_{XY}|\le 1$

这里的证明过程没有问题，不过我有疑问的是，如果问题改为求任意随机变量X,Y的相关系数的取值范围，又该怎么做呢？因为这里的题目已经预设了证明是绝对值小于1，那么怎么证明1就是任意两个随机变量的相关系数的最大值呢？就像$a$是一个$(0,0.5)$之间的值，现在已经证明了$a\le 1$，怎么能够证明出$a\le 0.5$呢

更新，一些关于相关系数的理解：

1. 相关系数表达的是两个随机变量$X,Y$的线性关系，不相关意味着两随机变量间没有线性关系，而不表示两随机变量独立,即是说不存在$a+bX=Y$这种关系，可能存在$Y=X^2$时，相关系数${\rho }_{XY}=0$,$X,Y$不相关，但是$X,Y$也不独立。详见浙大概率论与梳理统计第4版108页及其后例一
2. 疑问解答：
   怎么证明出任意随机变量的相关系数的最大值就是1的呢？
   两个思路：

• 由知乎大佬的一个回答知道，可以将随机变量看作无穷维的向量，协方差看作是向量内积，那么相关系数就是向量的夹角余弦值，自然而然，取值范围是$[-1,1]$
• 由书上108页的第二个定理的证明可以知道，$|{\rho }_{XY}|=1$的充要条件是存在常数$a,b$使得
  P { Y = a + b X } = 1 P{ Y= a+bX } =1 P{Y=a+bX}=1
  即是当且仅当$Y=a+bX$这个条件存在时，满足$|{\rho }_{XY}|=1$这个条件，对于其他$Y=/a+bX$的情况都是$|{\rho }_{XY}|<1$，所以能够得出对于任意两个随机变量的相关系数，其绝对值最大能够取到1，以及$|{\rho }_{XY}|\le 1$

最后

以上就是美满冥王星为你收集整理的浙大《概率与数理统计》第四版证明随机变量X,Y的相关系数的绝对值小于1，及一些疑问的全部内容，希望文章能够帮你解决浙大《概率与数理统计》第四版证明随机变量X,Y的相关系数的绝对值小于1，及一些疑问所遇到的程序开发问题。

如果觉得靠谱客网站的内容还不错，欢迎将靠谱客网站推荐给程序员好友。