二元离散型随机分布

联合概率分布

$$P(X=x_i,Y=y_j)=p_{ij}$$

边际分布

$$P(Y=y_j)=\sum _{i=1}^N{p}_{ij}$$

二元随机变量的分布函数

联合分布函数(joint distribution function)

边际分布函数

条件分布函数

在给定Y=Yj条件下X的条件分布函数为

二元连续型随机变量

联合概率密度函数

概率密度函数的二元版本

边际概率密度函数

$$f_X(x)={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x,y)dy$$

条件概率密度函数

$$f_x{|}_y(x|y)=\frac{f(x,y)}{f_Y(y)}$$

二元均匀分布与正态分布

1. 二元均匀分布的条件分布仍为均匀分布
2. 二元正态分布的边际分布是正态分布，并不依赖与参数ρ
3. 二元正态分布的条件分布是正态分布，与ρ相关

随机变量的独立性

$$F(x,y)=F_X(x)F_Y(y)$$与$$f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$$等价，即随机变量独立

定理：只要密度函数可以分解成两个函数的积，则随机变量X,Y必定独立

二元随机变量的函数的分布

Z=X+Y的分布

1. X与Y均为泊松分布，则Z=X+Y也为泊松分布，参数为λ1+λ2
2. X与Y均为正态分布，则aX+bY+c服从N(aμ1+bμ2+c,a²σ1²+b²σ2²)
3. Z=X+Y可以看成是Y被换成了Z-X，而Z相当于X,Y，是一个变量，只不过是由X,Y组成，求Z的密度函数实际上是求边际密度分布，只要积分即可（对X或者对Y积分都可以）
   $f_Z(z)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(z-y,y)dy$
   或者
   $f_Z(z)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,z-x)dy$

M=max{X,Y}, N=min{X,Y}的分布

1. Fmax(z) = P(X<=z,Y<=z)=FX(z)FY(z)
2. Fmin(z) = 1-(1-PX(z))(1-PY(z))

最后

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