例子

假设 概率王国 有三个县（A县、B县、C县），面积分布为 $P(A)、P(B)、P(C)$；这个国家的土地使用性质分为三类：住宅、工厂和农田，它们的面积分别为：$P(住宅)、P(工厂)、P(农田)$这些面积的和就是整个国家的面积：
$$\begin{array}{l}P(A)+P(B)+P(C)=1\\ P(住宅)+P(工厂)+P(农田)=1\end{array}$$

由以上所知，我们定义如下信息：

• $P(A)$：A 县的全体面积；$P(B)$：B 县的全体面积；$P(C)$：C 县的全体面积；
• $P(住宅)$：全国的住宅面积；$P(工厂)$：全国的工厂面积；$P(农田)$：全国的农田面积；
• $P(A，住宅)$：A 县的住宅面积；$P(A，工厂)$：A 的工厂面积；$P(A，农田)$：A 的农田面积；
• $P(B,住宅),P(B,工厂),P(B,农田);P(C,住宅),P(C,工厂),P(C,农田)$ 含义类似;

我们定义随机变量 $X$，它的取值范围为：$A,B,C$；定义随机变量 $Y$，它的取值范围为：$住宅、工厂、农田$；

联合概率和条件概率

我们定义形如 $P(X=a,Y=b)$，这类包含多个条件且所有条件同时成立的概率为 联合概率；
形如 $P(X=a)$ 或者 P(Y = b) 这类仅单个随机变量的概率为 边缘概率；
联合概率 与 边缘概率 具有如下关系：

$$\begin{array}{l}P(X=a)={\sum }_{b}P(X=a,Y=b)\\ P(Y=b)={\sum }_{a}P(X=a,Y=b)\end{array}$$

全国的住宅、工厂、农田面积可以如此得到：
$$\begin{array}{l}P(Y=住宅)=P(X=A,Y=住宅)+P(X=B,Y=住宅)+P(X=C,Y=住宅)\\ P(Y=工厂)=P(X=A,Y=工厂)+P(X=B,Y=工厂)+P(X=C,Y=工厂)\\ P(Y=农田)=P(X=A,Y=农田)+P(X=B,Y=农田)+P(X=C,Y=农田)\end{array}$$

A、B、C三县的面积可以如下得到：
$$\begin{array}{l}P(X=A)=P(X=A,Y=住宅)+P(X=A,Y=工厂)+P(X=A,Y=农田)\\ P(X=B)=P(X=B,Y=住宅)+P(X=B,Y=工厂)+P(X=B,Y=农田)\\ P(X=C)=P(X=C,Y=住宅)+P(X=C,Y=工厂)+P(X=C,Y=农田)\end{array}$$

全国的总面积可以如此得到：
$$\begin{array}{l}P(X=A,Y=住宅)+P(X=A,Y=工厂)+P(X=A,Y=农田)\\ +P(X=B,Y=住宅)+P(X=B,Y=工厂)+P(X=B,Y=农田)\\ +P(X=C,Y=住宅)+P(X=C,Y=工厂)+P(X=C,Y=农田)\\ =1\end{array}$$

条件概率

形如 $P(Y=b|X=a)$ 这种表达式的含义为：在事件 $X=a$ 发生的前提下，事件 $Y=b$ 的概率，我们称这样的概率为 条件概率；
条件概率的定义如下：
$$P(Y=b|X=a)=\frac{P(X=a，Y=b)}{P(X=a)}$$

条件概率具有如下形式：
$$穷尽Y的取值之后，有\sum _{b}P(Y=b|X=a)=1（这个1表示的是比例）;$$

例如，我们想知道 A 县中，住宅、工厂、农田所站的比重，可以有如下计算：
$$\begin{array}{l}P(Y=住宅|X=A)=\frac{P(X=A，Y=住宅)}{P(X=A)}\\ P(Y=工厂|X=A)=\frac{P(X=A，Y=工厂)}{P(X=A)}\\ P(Y=农田|X=A)=\frac{P(X=A，Y=农田)}{P(X=A)}\end{array}$$

贝叶斯公式：

假设我们得到以下信息：

• 各县的面积为：$P(A)=0.2$、$P(B)=0.32$、$P(C)=0.48$;
• A 县的详情为：$P(住宅|A)=0.2$；$P(工厂|A)=0.6$；$P(农田|A)=0.2$；
• B 县的详情为：$P(住宅|B)=0.5$；$P(工厂|B)=0.25$；$P(农田|B)=0.25$；
• C 县的详情为：$P(住宅|C)=0.25$；$P(工厂|C)=0.25$；$P(农田|C)=0.5$；
• 求此时 P(A|工厂)是多少？可以理解为：A县工厂的面积占全国工厂总面积的比例？

这个问题可以抽象为：我们由一组 $P(县)$ 与 $P(用途|县)$ 构成的关系式推导出 $P(县|用途)$?
我们的求解可以用 A县的工厂面积 除以 全国工厂总面积：
$$P(A|工厂)=\frac{P(A，工厂)}{P(工厂)}$$

其中，分子 $P(A,工厂)$ 可以由：
$$P(A，工厂)=P(工厂|A)P(A)$$
得到

分母 $P(工厂)$ 可以由：
$$\begin{array}{rl}P(工厂)& =P(A，工厂)+P(B,工厂)+P(C,工厂)\\ & =P(工厂|A)P(A)+P(工厂|B)P(B)+P(工厂|C)P(C)\end{array}$$

所以最终，表达式如下：
$$\begin{array}{rl}P(A|工厂)& =\frac{P(A，工厂)}{P(工厂)}\\ & =\frac{P(工厂|A)P(A)}{P(A，工厂)+P(B,工厂)+P(C,工厂)}\\ & =\frac{P(工厂|A)P(A)}{P(工厂|A)P(A)+P(工厂|B)P(B)+P(工厂|C)P(C)}\end{array}$$

由上述式子可以得到关于贝叶斯公式的概念：
已知 $P(X=[A,B,C])$ 和 P(Y = [住宅、工厂、农田] | X = [A, B, C])，要求 $P(X=A|Y=工厂)$ ? 其公式可以如下：
$$\begin{array}{rl}P(X=A|Y=工厂)& =\frac{P(X=A，Y=工厂)}{P(Y=工厂)}\\ & =\frac{P(Y=工厂|X=A)P(X=A)}{{\sum }_{X=[A，B，C]}P(X,Y=工厂)}\\ & =\frac{P(Y=工厂|X=A)P(X=A)}{{\sum }_{X=[A，B，C]}P(Y=工厂|X)P(X)}\end{array}$$

上述公式被称为 贝叶斯公式；

独立性

假设存在多个事件A 和 B，独立性是指：事件 A 发生与否与事件 B 发生与否毫无关联，此时可以称事件A 和 B 相互独立；
相互独立的事件 A 和 B 具有如下性质：

• 条件概率与条件无关：$P(X=a|Y=b)=P(X=a)$ 与 Y 无关；
• 联合概率是边缘概率的乘积：$P(X=a,Y=b)=P(X=a)P(Y=b)$;

最后

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