【深度学习】LSTM为什么会可以解决梯度消失问题

我尝试从另一个角度——sigmoid函数值分布与导数值分布的差异，来解释LSTM的gate怎么起作用。

对于RNN来说，前后两个step的hidden state中间经过了一层sigmoid，所以后向传播的时候梯度会乘上一个sigmoid的导数值；对于LSTM来说，前后两个step的hidden cell没有经过一个sigmoid层，而是乘了一个sigmoid的函数值 / 激活值（即LSTM的forget gate），所以后向传播的时候梯度也会乘上一个sigmoid的函数值。

也就是说，RNN在后向的时候梯度是不断乘以sigmoid的导数值，LSTM在后向的时候梯度是不断乘以sigmoid的函数值，而这两者的数值分布存在着显著差异。

为了简化分析，我们可以假设sigmoid之前的输入分布是一个高斯分布，固定均值为0，方差不定（应该是挺一般的假设了），然后画出在不同的方差下，sigmoid函数值和导数值的分布情况，下图横轴为函数值 / 导数值，纵轴为概率密度，sigma为高斯分布的标准差：

从上图可以看出：

• 如果前面的输入比较集中（小sigma），则sigmoid函数值大概率为0.5，导数值大概率为0.25，此时梯度都会衰减，但是乘以0.5衰减得慢一些；
• 如果前面的输入比较分散（大sigma），则sigmoid函数值大概率为0或1，导数值大概率为0，梯度乘以函数值基本上要么完整保留要么完全消失，梯度乘以导数值则只会消失了。

所以，在RNN中，每乘以一次sigmoid的导数值都会让后向传播的梯度衰减一次，需要靠全连接层的矩阵拉回来，但是如果拉得过头了又会导致梯度爆炸，而如果sigmoid前面的方差大的话还会导致梯度直接消失，全连接层救都救不回来；在LSTM中，每乘以一次sigmoid的函数值都可以让后向传播的梯度保留或者衰减消失，非常灵活，而且前后两个hidden cell可以走forget gate这条捷径直达，不需要经过全连接层，而全连接层是梯度爆炸的根源，因此在这条路径上LSTM不需要担心梯度爆炸的问题。

不过cell这条路径不爆炸不代表别的路径不爆炸，比如从hidden cell经过output gate到hidden state中间就又有全连接层，而这一步hidden state又会接到下一步hidden cell，所以这条路径上存在全连接层的串联，有可能会导致梯度爆炸。