matlab梯形法数值积分,数值积分（梯形法）

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预备知识　Matlab 的函数，定积分

本词条介绍一种简单的梯形算法计算数值积分．如图 1 若要用梯形法计算定积分 $int_a^b f(x) ,mathrm{d}{x} $，则可将区间 $[a, b]$ 划分为 $N$ 个长度为 $h = (b-a)/N$ 的等长的小区间，区间端点从 $a$ 到 $b$ 分别为 $x_1 = a, x_2 = a + h, dots, x_{N+1} = b$．

图 1：梯形法数值积分

接下来将每个区间的被曲线围出的面积用梯形来计算，第 $i$ 个梯形面积为(两底和乘以高除以二)

$[f(x_{i+1}) + f(x_i)]h/2$．定积分约等于所有梯形面积

begin{equation}

int_a^b f(x) ,mathrm{d}{x} approx sum_i^N frac h2 [f(x_{i+1}) + f(x_i)]

= h left[frac12 f(x_1) + sum_{i = 2}^N f(x_i) + frac12 f(x_{N+1}) right]

end{equation}

显然，当 $N$ 取越大时，右边的求和就越接近定积分．

这里给出 Matlab 代码

代码 1：trapezoidInt.m

下面来看两个例子，由算法可知，当被积函数具有 $c_1 x + c_2$ 的形式时，函数曲线围成的面积可由梯形精确解算，所以即使 N 取很小也可以精确到 double 类型的精度(16 位左右)．>> format long;

>> trapezoidInt(@(x)x, 0, 1, 4)

ans = 0.500000000000000

对其他一些函数，需要较大的 $N$ 才能获得较高的精度．我们已知 $sin x$ 在 $[0, pi]$ 内的积分等于 $2$，再看数值积分

>> trapezoidInt(@sin, 0, pi, 10)

ans = 1.983523537509455

>> trapezoidInt(@sin, 0, pi, 100)

ans = 1.999835503887444

>> trapezoidInt(@sin, 0, pi, 1000)

ans = 1.999998355065662

>> format short;

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