浅谈“离散时间信号的傅里叶变换”

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我是靠谱客的博主孤独芝麻，最近开发中收集的这篇文章主要介绍浅谈“离散时间信号的傅里叶变换”，觉得挺不错的，现在分享给大家，希望可以做个参考。

概述

之前学习计算机视觉，虽然敲了不少代码，但一直没弄懂傅里叶变换以及图像滤波背后的数学含义，只能对着现成的公式照葫芦画瓢，让我内心觉得深深的不安。好在通过这段时间在华为的实习，恶补了一下数字信号处理相关的基础知识，总算是把这方面的坑给填上了。以下为这几天的学习成果，也就是我自己对傅里叶变换的理解。

这篇博文的前三段解释了一些比较基础的概念，对理解傅里叶变换有帮助。

本文为大便一箩筐的原创内容，转载请注明出处，谢谢：http://www.cnblogs.com/dbylk/p/3920927.html

一、离散时间信号

　　要弄懂离散时间信号的傅里叶变换，首先要弄清楚什么是信号，而什么又是离散时间信号。（虽然感觉像是废话，可作为一个软件工程的童鞋我一开始对这些东西真的没概念啊T_T）

　　所谓信号，其实就是包含一个或多个变量的函数，举几个例子：语音信号可以表示为声压随时间变化的函数，黑白照片可以表示为亮度随二维空间坐标变化的函数。（此段内容来自于奥本海姆的《信号与系统》）

　　所谓离散时间信号，又名数字信号，它是由数字序列表示的离散函数 {x[n]}, -∞<n<+∞，其中 n 为整数。一般情况下，为了方便起见，我们常将 {x[n]} 简写为 x[n] 。常见的离散时间信号有：

　　①单位取样序列：

　　②单位越阶序列：

　　③矩形序列：

　　（以上内容来自于华中科大的教材《数字信号处理》）

二、离散时间系统

　　在弄懂离散时间信号的傅里叶变换之前，我们还要弄清楚一个概念：离散时间系统。

　　所谓离散时间系统，就是把输入的离散序列 x[n] 映射成输出序列 y[n] 的唯一变换，用 T[] 表示。

　　其中，满足线性叠加原理的系统被称为线性系统，即：

　　①　　T[ax₁(n) + bx₂(n)] = ay₁(n) + by₂(n)

　　若系统的响应与输入信号施加于系统的时刻n无关，则称其为非移变系统，即：若有

　　②　　T[x(n)] = y(n)，则有T[x(n-k)] = y(n-k)

　　同时满足以上两个条件的系统被称为线性非移变系统。

三、卷积

　　相信学习过计算机视觉的同学对这个词一定不会陌生，卷积是线性非移变系统的特性，定义如下：

　　设 T[] 为线性非移变系统，当输入为单位取样序列 δ[n] 时，定义输出（其中，三角形下带一个等号的符号表示“定义为”），h[n] 称为单位取样响应（或单位冲激响应），对于任意的 x[n] ，下列等式成立：

　　而这个等式，就被称为离散卷积（或线性卷积）。（上式的推导利用了单位取样序列只在 0 点处取 1 的特性。）

　　显而易见的，任何线性非移变系统都可以通过它的单位取样响应 h[n] 来表示，而且输入 x[n] 与输出 y[n] 满足离散卷积关系，表示为 y[n] = x[n] * h[n] 。

　　离散卷积满足以下的运算规律：

　　①交换律：　　　　　　 x[n] * h[n] = h[n] * x[n]

　　②结合律：　 x[n] * h₁[n] * h₂[n] = x[n] * ( h₁[n] * h₂[n] )

　　③分配律：x[n] * ( h₁[n] + h₂[n] ) = x[n] * h₁[n] + x[n] * h₂[n]

四、傅里叶变换

　　下面开始进入正题，说说什么是傅里叶变换。

　　傅里叶说：任何周期函数都可以表示为不同频率的正弦函数sin(ω_ix + φ_i)叠加的形式，其中每个正弦函数都具有不同的系数 A_i，式中的 ω_i 为频率。

　　根据这句话，我们可以把傅里叶变换推广到非周期函数上：非周期函数可以被看成具有无穷大周期的周期函数，因此可以表示为无限个不同频率的正弦函数叠加的形式，而每个正弦函数所对应的系数都趋近于无穷小（注意：这些趋近于无穷小的系数是不相等的）。当定义中提到的函数是一个离散时间信号时（而正如我在前面所提到的，信号就是函数），它的傅里叶变换详细表示如下：

　　此外，傅里叶变换还存在逆变换：

　　式中的 X(e^jω) 是一个以 2π 为周期的连续函数，它被称为信号的频域函数，而信号的原函数 x[n] 被称为时域函数（此时，默认信号以时间作为横坐标，当横坐标为空间坐标时，原函数被称为空域函数）。其中，e^jω= cosω + jsinω，j = √(-1)， ω 为频率。

　　傅里叶变换的函数图像被称为傅里叶频谱，它的横坐标是傅里叶变换所分离出正弦信号的归一化频率 ω ，纵坐标是当前频率正弦信号的幅度 X(e^jω) 。

　　在傅里叶频谱中，横坐标 ω 接近 0 的部分被称作低频信号，对应了原信号 x[n] 中变化缓慢的成分（根据傅里叶逆变换公式，原函数 x[n] 为 X(e^jω)e^jωn关于 ω 的积分，而之前说过，X(e^jω) 是 e^jω的加权系数，与 n 的取值无关，在这里可以暂时忽略。因为 e^jωn= cosωn + jsinωn，这也就意味着 ω 越小，e^jωn 的周期越大，当 ω 无限趋近于 0 时，可以将 e^jωn看做是一条水平直线，此时 X(e^jω) 的值越大，说明 e^jωn 在原函数中所占的比重越大，也就是原函数 x[n] 越接近于一条直线，即变化程度越小。）；相反地，横坐标 ω 很大的部分被称作高频信号，对应了原信号 x[n] 中变化剧烈的成分。