一、 正弦内插概述

        正弦内插算法，实质是对抽样信号的还原，利用低通滤波器的时域曲线对离散信号进行插值。

        根据奈奎斯特定律，抽样频率大于原始信号的最大频率的两倍以上，则可以依据抽样后信号成功还原原始信号。而数字信号处理课程中学到，时域的离散化对应频域的周期化。通过低通滤波器，截取频域上的一个周期的函数，进行离散傅里叶反变换，即可还原原始波形。

二、正弦内插公式的推导

        低通滤波器在频域上的图形表示如下，横坐标Ω为其数字角频率：

时域上的函数图形表示如下：

时域上的表达公式为（傅里叶反变换）：

对上式求积分可得：

写成sinc函数形式，即为：          备注：

        即y[t]=x[t]*h[t]，其中x[t]为需要插值的函数，h[t]为低通滤波器的时域响应函数，y[k]为滤波后的函数，即插值后的函数。卷积公式: 

        由于从正负无穷大内的卷积在物理上不可实现，假设插值后的离散信号的采样点的间隔周期为T，取前后合计N个离散采样点进行滤波，完成插值；假设n为离散采样点的序号，则t=nT（需要注意，x[t]的原始点保持不变，其余点置为0），因此将上述公式进行转化：

代入可得：

        我们知道采样频率，采样角频率，而根据采样定理，，因此。

 因此有

当时，公式写成下式：

上述公式中，仅有2个参数：采样间隔T和插值点数n。（个人认为的其余值也可，此处按照简单，不同的wc即选取了不同的低通滤波器而已）

三、MATLAB正弦内插算法实现

        依据此公式，使用matlab实现正弦内插的代码如下：

%sinx/x正弦内插算法实现
a=1;
%首先模拟一个离散的正弦函数
discrete_NUM = 20;%离散函数的点数共计20个
fm=zeros(discrete_NUM,1);
for m=1:1:discrete_NUM
fm(m)=sin(0.2*pi*m);%生成正弦离散函数
end
subplot(2,1,1);
stem(fm);%正弦离散函数画图展示
hold on;
%正弦内插实现
interpolation_ratio = 10;%每个离散点插入10个点
after_NUM = discrete_NUM * interpolation_ratio;%插值后的波形的点数,一共200个点
y_o=zeros(after_NUM,1);%输出函数的幅度值矩阵
t_o=zeros(after_NUM,1);%输出函数的时间值矩阵
for t=0:1:after_NUM-1 %t取值范围为1~200
if(mod(t,interpolation_ratio)==0) %原始离散数据位置，不计算,直接赋值
t_o(t+1)=1+t/interpolation_ratio;%时间值，横坐标，t取值范围是1~200
y_o(t+1)=fm(1+t/interpolation_ratio);%最终输出的幅度值 t取值范围是1~200
else
y=0;
for m=1:1:discrete_NUM
x= pi*(t-m*interpolation_ratio)/interpolation_ratio; % ，映射离散函数的采样周期为interpolation_ratio，t为插值对应的时间，每个单位映射为1
if(x==0) %x=0时，sinx/x无意义，赋值1
y=y+fm(m)*1;
else
y=y+fm(m)*sin(x)/x;%计算出每一个点内插数值
end
%或者表达为sinc(x)的形式
%
x= (t-m*interpolation_ratio)/interpolation_ratio; % ，映射离散函数的采样周期为interpolation_num，t为插值对应的时间，每个单位映射为采样周期的1/interpolation_num
%
y=y+fm(m)*sinc(x);%计算出每一个点内插数值
end
t_o(t+1)=t/10;%时间值，横坐标,t取值范围是1~200
y_o(t+1)=y;%最终输出的幅度值，纵坐标 t取值范围是1~200
end
end
subplot(2,1,2);
stem(t_o,y_o);%显示插值之后的波形
hold on;

运行结果如下图。上侧为原始的离散函数，下侧为正弦内插插值后的波形。

最后

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