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1 三维空间中的位置与姿态

通常来说,机器人指的是至少包含有一个固定刚体和一个活动刚体的机器装置。其中，固定的刚体称为基座，而活动的刚体称为末端执行器。在两个部件之间会有若干连杆和关
节来支撑末端执行器﹐并使其移动到一定的位置。

控制一个机器人的运动,可以通过控制机器人(机械臂)上各关节的位置,设定关节运动的轨迹。而首先需要做的就是获取机器人本身的位姿。所谓位姿,就是指机器人上每个关节在每一时刻的位置和姿态。这就需要确定描述空间物体位姿的方法,本书中使用空间坐
标系来描述相关位姿。当得到位姿的描述以后﹐就可以利用各关节位姿之间的关系来描述机器人的整个运动链,进而得到机器人的基座坐标系和末端执行器坐标系之间的关系。

机器人的运动学模型包括机器人各连杆、关节的位置姿态以及在各关节上的坐标系,其任务之一就是确立机器人末端执行器的位姿。机器人的机械臂通常是由一组关节连接的连杆结合体:第一个连杆固定﹐连接该机械臂的基座,而最后一个连杆连接的是它的末端执行器。操作机器人是为了控制与机器人相关的零件、工具在三维空间中运动,因此需要描述相应的位置和姿态。任务之一就是确立机器人末端执行器的位姿。机器人的机械臂通常是由一组关节连接的连杆结合体:第一个连杆固定﹐连接该机械臂的基座,而最后一个连杆连接的是它的末端执行器。操作机器人是为了控制与机器人相关的零件、工具在三维空间中运动,因此需要描述相应的位置和姿态。

1.1 位置描述

如图1-4所示,在三维空间中建立某一坐标系，于是空间中的任何一个点就可以通过一个$3\times 1$的位置矢量来确定。建立一个直角坐标系$A$,空间中的任一点${}^{A}P$可以表示为：

$p_x、p_y、p_z$分别是${}^{A}P$在坐标系$A$中的三个坐标分量，${}^{A}P$称为位置矢量。

1.2 姿态描述

空间中的物体还需要描述它的姿态(也称为方位)，这用固定在物体上的坐标系$B$来描述。如图1-5所示，为了规定空间某刚体$B$的方位，设一坐标系$B$与此刚体固连﹔用三个单位矢量$x_B,y_B,z_B$来表示坐标系 { B } {B} {B}的主轴方向﹐因此物体相对于参考坐标系 { A } {A} {A}的姿态可以用矢量$x_B,y_B,x_B$相对于参考坐标系$A$的方向余弦组成的$3\times 3$矩阵来表示,这个矩阵${}_B^{A}R$称为旋转矩阵。

用矢量两两之间的余弦则表示为：

对应于轴$X,Y$或$Z$作转角为$\theta$的旋转变换，其旋转矩阵分别为：

旋转矩阵${}_B^{A}R$具有这样的特点：
（1）3个主矢量两两垂直
（2）9个元素中，只有3个是独立的
（3）3个单位主矢量满足6个约束条件：

（4）旋转矩阵为正交矩阵，且满足条件：

机器人工具箱中，可分别用函数$rotx(\theta ),roty(\theta ),rotz(\theta )$计算旋转$\theta$的旋转矩阵，并且在默认情况下，$\theta$用弧度表示。

例如围绕$X$轴做转角为180°的旋转变换：

R=rotx(pi)

运行结果：

如果直接用角度$\theta$表示，可以分别用$rotx(\theta {,}^{\prime }de{g}^{\prime }),roty(\theta {,}^{\prime }de{g}^{\prime }),rotz(\theta {,}^{\prime }de{g}^{\prime })$计算旋转矩阵：

R=rotx(180,'deg')

运行结果：

以上两种方式，都可以得到相对应的旋转矩阵。

在机器人工具中，可以使用两种函数实现坐标的旋转可视化。函数trplot()可以用图形表示相应的体坐标系，函数tranimate用动画展示世界坐标系旋转为体坐标系的过程。

trplot(R)

tranimate(R)

2 相关函数详细用法

2.1 获取旋转矩阵 rot

(1) rotx()：R=rotx($\theta$)是表示围绕X轴旋转弧度为$\theta$得到的旋转矩阵,返回一个3×3的矩阵R。

(2) roty()：R=roty($\theta$)是表示围绕Y轴旋转弧度为$\theta$得到的旋转矩阵,返回一个3×3的矩阵R。
(3) rotz()：R=rotz($\theta$)是表示围绕Z轴旋转弧度为$\theta$得到的旋转矩阵,返回一个3×3的矩阵R。

2.2 绘制坐标系 trplot

函数为:trplot()

对于三维坐标系的绘制,机器人工具箱提供了强大的可视化函数trplot()。

(1) trplot(R):绘制由旋转矩阵得到的坐标系，其中坐标系根据正交旋转矩阵围绕原点旋转得到,$R$为3×3的矩阵。

(2) trplot(T):绘制由齐次变换矩阵T表示的三维坐标系，其中$T$为4×4的矩阵。

此外,它包含了许多可选参数，这里列举主要的几种:

2.3 动画演示 tranimate

函数为:tranimate()。

（1）tranimate( xl， x2,options)展示3D坐标系从姿态xl变换到姿态x2的动画效果。

其中,姿态xl和x2有三种表示方法:一个4×4的齐次矩阵，或一个3×3的旋转矩阵，或一个四元数。

(2) tranimate(x，options)展示了坐标系由上一个姿态变换到姿态x的动画效果。同样地，姿势x也有三种表示方法:一个4×4的齐次矩阵，或一个3×3的旋转矩阵，或一个四元数。

(3) tranimate(xseq，options)展示了移动一段轨迹的动画效果。xseq可以是一组$4\times 4\times N$的齐次矩阵，或一组$3\times 3\times N$的旋转矩阵，或是一组四元数向量($N\times 1$)。

它包含的可选参数如下:

《机器人仿真与编程技术》 杨辰光 李智军 许扬

最后

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