大家好，欢迎走进周老师数学课堂，每天进步一点点，坚持带来大改变。今天是2019年1月20日，分享的内容是二次函数的实际应用。

问题求解

1.如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12m，宽是4m。按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y=-1/6x*2+bx+c表示，且抛物线上的点C到OB的水平距离为3m，到地面OA的距离为号17/2m.

⑴ 求抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离；

⑵ 一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？

⑶ 在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米?

解题思路提示

本题考查了二次函数的应用。利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，进而解决一些测量问题或其他问题。

1、仔细审题，观察图形，你能得到哪些有

用的信息呢？对于第⑴问，易知B点坐标为(0，4)，C点坐标为(3，17/2)，利用待定系数法即可求得抛物线的函数关系式，然后对关系式通过配方，得到D点坐标，进而得到拱顶D到地面OA的距离；

2、对于第⑵问，由于抛物线的对称轴为直线x=6，而隧道内设双向行车道，车宽为4m，则货运汽车最外侧与地面OA的交点为(2，0)或(10，0)，然后计算当x=2或10时对应的y值，再把y值与6进行比较即可判断；

3、对于第⑶问，抛物线开口向下，函数值越大，对称点之间的距离越小，于是计算函数值为8所对应的自变量的值，即可得到两排灯的水平距离的最小值。问题即可解决。

解题步骤

解:⑴由题意得B点坐标为(0，4)，C点坐标(3，17/2).

将两点坐标代入抛物线函数关系式y=-1/6x*2+bx+c中，

得c=4，-1/6×3*2+3b+c=17/2.

解得:b=2，c=4

则抛物线的函数关系式为y=-1/6x*2+2x+4.

∵y==-1/6x*2+2x+4=-1/6(x-6)*2+10，

∴拱顶D的坐标为(6，10)，

∴拱顶D到地面OA的距离为10m.

⑵ 由题意得货运汽车最外侧与地面OA的交点为(2，0)或(10，0)，

当x=2时，y=-1/6x2*2+2×2+4=22/3>6；

当x=10时，y=-1/6×10*2+2×10+4=22/3>6.

所以这辆货车能安全通过.

⑶ 当y=8时，-1/6x*2+2x+4=8，即

x*2-12ⅹ+24=0，

解得X1=6+2√3，X2=6-2√3，

∴|X1-Ⅹ2|=|6+2√3-(6-2√3)|=4√3.

即两排灯的水平距离最小是4√3米。

2.某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等，如图中的折线ABD、线段CD分别表示该产品每千克生产成本y1(单位：元)，销售价y2(单位：元)与产量x(单位：千克)之间的函数关系.

⑴ 请解释图中点D的横坐标、纵坐标的实际意义；

⑵ 求线段AB所表示的y1与x之间的函数表达式；

⑶ 当该产品产量为多少时，获得的利润最大?最大利润是多少?

解题方法提示

对于第⑴问，由于x轴代表产量、y轴代表钱数，结合点D的坐标即可确定点D的横坐标、纵坐标的实际意义；

对于第⑵问，可设y1与x之间的函数表达式为y1=k1x+b1，将点A(0，60)和点B(90，42)代入即可求出k1、b1的值，进而得到线段AB所表示的y1与x之间的函数表达式；

对于第⑶问，首先设y2与x之间的函数关系式为y2=k2x+b2，将点C(0，120)和点D(130，42)代入解析式可求出CD段的解析式；

接下来用销售价减去成本价后乘以产量表示出利润，最后分0≤x<90、90≤x≤130两种情况求解，比较两种情况中的最大值即可。

解题步骤

解:⑴点D的横坐标、纵坐标的实际意义：当产量为130千克时，该产品每千克生产成本与销售价相等，都为42元.

⑵设线段AB所表示的y1与x之间的函数表达式为y1=k1x+b1，

∵y1=k1x+b1的图象过点A(0，60)和点B(90，42)，

∴90k1+b1=42，b1=60

解得:k1=-0.2，b1=60

∴线段AB所表示的y1与x之间的函数表达式为y1=-0.2x+60(0≤x≤90)。

⑶设y2与x之间的函数关系式为

y2=k2x+b2，

∵y2=k2x+b2的图象经过点C(0，120)和

点D(130，42)，

∴b2=120，130k2+b2=42，

解得:k2=-0.6，b2=120，

∴y与x之间的函数关系式为

y2=-0.6x+120(0≤x≤130).

设产量为x千克时，获得利润为W元.

当0≤x<90时，

W=x[(-0.6x+120)-(-0.2x+60)]

=-0.4(x-75)*2+2250.

∴当x=75时，W的值最大，且最大值为2250。

当90≤x≤130时，

W=x[(-0.6x+120)-42]=-0.6(x-65)*2+2535

∴当x=90时，W的值最大，最大值为

W=-0.6x(90-65)*2+2535=2160.

2250>2160，

∴当该产品产量为75千克时，获得的利润最

大，最大值为2250元。

解题总结

上述真题都是利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题的应用，我们在解答此类问题时要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，构建函数模型从而确定抛物线的解析式，通过解析式就可解决一些测量问题或其他问题，当然同时需要我们注意自变量的取值范围。你们认为呢？

今天的分享就到这里，欢迎大家在评论区留下您的思路，让我们共同讨论，也许您的思路是最棒的。喜欢文章记得分享哦！

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