（四）分数阶微积分

我们重点考察$R-L$型分数阶微积分的性质，简记${}_{0}^{RL}D_{t}^{beta}=D_{t}^{beta}$，若无特殊说明。
a). 线性性
$$D_{t}^{beta}[f(t)+g(t)]=D_{t}^{beta}f(t)+D_{t}^{beta}g(t)$$
$$D_{t}^{beta}lambda f(t)=lambda D_{t}^{beta}f(t) $$
证明:直接带入定义验算即可.设$m=[beta]+1$
$${}_{0}^{RL}D_{t}^{beta}f(t)=frac{1}{Gamma(m-beta)}frac{d^{m}}{dt^{m}}int_{0}^{t}(t-tau)^{m-beta-1}f(tau)dtau$$
b). 积分的叠加性
$$D_{t}^{-alpha}D_{t}^{-beta}f(t)=D_{t}^{-alpha-beta}f(t) (alpha,beta>0)$$
证明:对整数阶积分结论是显然的,对于分数阶R-L积分仍然具有叠加性。
由定义知
$${}_{0}D_{t}^{-beta}f(t)=frac{1}{Gamma(beta)}int_{0}^{t}(t-x)^{beta-1}f(x):=g(t)$$
那么
begin{eqnarray*}
{}_{0}^{}D_{t}^{-alpha}g(t)&=&frac{1}{Gamma(alpha)}int_{0}^{t}(t-tau)^{alpha-1}g(tau) dtau\
&=&frac{1}{Gamma(alpha)Gamma(beta)}int_{0}^{t}(t-tau)^{alpha-1}d