概述
分数阶麻雀搜索算法
文章目录
- 分数阶麻雀搜索算法
- 1.麻雀优化算法
- 2. 改进麻雀算法
- 2.1 分数阶微积分
- 2.2 分数阶优化的麻雀搜索算法
- 3.实验结果
- 4.参考文献
- 5.Matlab代码
- 6.Python代码
摘要：采用分数阶微积分算法优化麻雀搜索算法,根据麻雀的位置信息,引入自适应分数阶阶次以自适应地调整分数阶阶次,加快算法收敛速度;
1.麻雀优化算法
基础麻雀算法的具体原理参考，我的博客：https://blog.csdn.net/u011835903/article/details/108830958
2. 改进麻雀算法
2.1 分数阶微积分
分数阶微积分与整数阶微积分对应, 是将微积分阶次从 整数推广到分数, 通过对整数微积分的差分近似递推求解极 限
[
6
−
8
]
{ }^{[6-8]}
[6−8], 即阶次为分 数的微分和积分。最为常用的定义是 Grumwald-Letniko(G-L 定义)。
G-L 定义的离散表达式为
[
9
]
{ }^{[9]}
[9] :
D
v
[
x
(
t
)
]
=
1
T
v
∑
k
=
0
β
(
−
1
)
k
γ
(
v
+
1
)
x
(
t
−
k
T
)
γ
(
k
+
1
)
γ
(
v
−
k
+
1
)
(4)
D^v[x(t)]=frac{1}{T^v} sum_{k=0}^beta frac{(-1)^k gamma(v+1) x(t-k T)}{gamma(k+1) gamma(v-k+1)} tag{4}
Dv[x(t)]=Tv1k=0∑βγ(k+1)γ(v−k+1)(−1)kγ(v+1)x(t−kT)(4)
其中,
v
v
v 为阶次;
T
T
T 为周期;
γ
(
N
)
=
∫
0
∞
e
−
t
t
n
−
1
d
t
=
(
n
−
1
)
!
gamma(N)=int_0^{infty} mathrm{e}^{-t} t^{n-1} mathrm{~d} t=(n-1) !
γ(N)=∫0∞e−ttn−1 dt=(n−1)! 为伽 马函数;
β
beta
β 为截止阶次。
2.2 分数阶优化的麻雀搜索算法
为了防止麻雀搜索算法陷入局部最优, 同时加快该算法 的收敛速度, 本文利用分数阶的学习训练算法易跳出局部极 值点的特点, 将麻雀搜索算法与分数阶微分相结合, 通过麻雀 群中麻雀位置的更新来自适应地调整分数阶次。
令式 (4) 中的
β
=
4
beta=4
β=4, 可得:
D
v
[
x
(
t
+
1
)
]
≈
x
(
t
+
1
)
−
v
x
(
t
)
+
1
2
v
(
v
−
1
)
x
(
t
−
1
)
−
1
6
v
(
v
−
1
)
(
v
−
2
)
x
(
t
−
2
)
+
1
24
v
(
v
−
1
)
(
v
−
2
)
(
v
−
3
)
x
(
t
−
3
)
(5)
begin{aligned} D^v[x(t+1)] approx & x(t+1)-v x(t)+frac{1}{2} v(v-1) x(t-1)-\ & frac{1}{6} v(v-1)(v-2) x(t-2)+\ & frac{1}{24} v(v-1)(v-2)(v-3) x(t-3) end{aligned}tag{5}
Dv[x(t+1)]≈x(t+1)−vx(t)+21v(v−1)x(t−1)−61v(v−1)(v−2)x(t−2)+241v(v−1)(v−2)(v−3)x(t−3)(5)
由式 (5) 可知, 分数阶导数结果与当前项和之前的状态值 均有关, 且过去事件的影响随着时间的推移而减小。将分数 阶引入到麻雀搜索算法中发现者的位置更新处。由式 (1) 可 知, 当种群中的一些麻雀已经发现了捕食者, 并向种群中其他 麻雀发出警报时, 发现者的位置更新可描述为：
X
i
,
j
t
+
1
−
X
i
,
j
t
=
Q
⋅
L
(6)
X_{i, j}^{t+1}-X_{i, j}^t=Q cdot boldsymbol{L} tag{6}
Xi,jt+1−Xi,jt=Q⋅L(6)
式 (6) 的左边为分数阶
G
−
L
mathrm{G}-mathrm{L}
G−L 定义阶次
v
v
v 为 1 且周期
T
T
T 为 1 时的离散形式, 即:
D
v
[
x
(
t
+
1
)
]
=
Q
⋅
L
(7)
D^v[x(t+1)]=mathbf{Q} cdot boldsymbol{L} tag{7}
Dv[x(t+1)]=Q⋅L(7)
由式 (5) 可知, 当种群中的一些麻雀已经发现了捕食者, 并向种群中其他麻雀发出警报时, 发现者的位置更新可表 示为:
X
i
,
j
t
+
1
=
v
X
i
,
j
t
−
1
2
v
(
v
−
1
)
X
i
,
j
t
−
1
−
1
6
v
(
v
−
1
)
(
v
−
2
)
X
i
,
j
t
−
2
+
1
24
v
(
v
−
1
)
(
v
−
2
)
(
v
−
3
)
X
i
,
j
t
−
3
+
Q
⋅
L
(8)
begin{aligned} X_{i, j}^{t+1}=& v X_{i, j}^t-frac{1}{2} v(v-1) X_{i, j}^{t-1}-frac{1}{6} v(v-1)(v-2) X_{i, j}^{t-2}+\ & frac{1}{24} v(v-1)(v-2)(v-3) X_{i, j}^{t-3}+Q cdot L end{aligned} tag{8}
Xi,jt+1=vXi,jt−21v(v−1)Xi,jt−1−61v(v−1)(v−2)Xi,jt−2+241v(v−1)(v−2)(v−3)Xi,jt−3+Q⋅L(8)
可以看出, 分数阶次影响着发现者的位置更新。因此, 本 文采用自适应调整机制, 引入进化因子
f
f
f 对分数阶阶次
v
v
v 进 行修正。
(1) 当种群中的一些麻雀已经发现了捕食者, 并向种群中 其他麻雀发出警报时, 发现者
i
i
i 到其他麻雀的平均距离为:
d
i
x
=
1
N
−
1
∑
j
=
1
,
j
=
i
N
∑
k
=
1
D
(
x
j
k
−
x
j
k
)
2
(9)
d_{i x}=frac{1}{N-1} sum_{j=1, j=i}^N sqrt{sum_{k=1}^Dleft(x_{j k}-x_{j k}right)^2} tag{9}
dix=N−11j=1,j=i∑Nk=1∑D(xjk−xjk)2(9)
其中,
N
N
N 和
D
D
D 分别表示加入者的个数和维数。
(2) 在进化过程中, 进化因子
f
f
f 决定加入者当前的状态, 其定义为：
f
=
d
g
−
d
min
d
max
−
d
min
∈
[
0
,
1
]
(10)
f=frac{d_g-d_{min }}{d_{max }-d_{min }} in[0,1] tag{10}
f=dmax−dmindg−dmin∈[0,1](10)
其中,
d
g
d_g
dg 为全局最优位置到其他麻雀的平均距离;
d
max
d_{max }
dmax 和
d
min
d_{text {min }}
dmin 分别为所有
d
i
x
d_{i x}
dix 中的最大值和最小值。
(3) 当分数阶阶次
v
∈
[
0.5
,
0.8
]
v in[0.5,0.8]
v∈[0.5,0.8] 时, 收敛速度更快
[
10
]
{ }^{[10]}
[10] 。 因此,
v
(
f
)
=
1
2
e
−
0.47
f
∈
[
0.5
,
0.8
]
v(f)=frac{1}{2} mathrm{e}^{-0.47 f} in[0.5,0.8]
v(f)=21e−0.47f∈[0.5,0.8] 。
3.实验结果
4.参考文献
[1]江妍,马瑜,梁远哲,王原,李光昊,马鼎.基于分数阶麻雀搜索优化OTSU肺组织分割算法[J].计算机科学,2021,48(S1):28-32.
5.Matlab代码
6.Python代码
最后
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