【模型检测学习笔记】9：Binary Decision Diagrams

1 BDT$\to$BDD$\to$OBDD

在符号模型检测中， 用布尔表达式表达一组状态，也就是对布尔公式中的每个变量赋值，可以计算出一个布尔值结果：
$$f:Boo{l}^n\to Bool$$

所以可以用一个类似于组合解空间树（如果1视为选，0视为不选）的结构，即Binary Decision Tree (BDT) 来表达一个布尔公式，如下图：

图中每个结点$v$有两个孩子分支，一条虚线对应$low(v)$表示$v=0$，一条实线对应$high(v)$表示$v=1$。如果不加任何约束，一个布尔公式可以对应多种结构的BDT。

将BDT的所有相同的叶子结点（实际上就只有0和1）合并，就成了Binary Decision Diagram (BDD)。为了保证结构统一，再要求每一层的变量是同一个，即保证所有从根结点到叶子结点的路径上的变量顺序是固定的，就形成了Ordered Binary Decision Diagram (OBDD) ，如下图：

给定一个布尔表达式，从语法层面上来看，可以表示成合取范式（Constructive Normal Form，也称Product of Sum）、析取范式（Disjunctive Normal Form，也称Sum of Product）、电路（Circuit）等；从语义层面上来看，可以表示成真值表（Truth Table）、BDD等。

2 Reduced OBDD

OBDD还可以被约简，考虑两个方面：

1. 合并同构子图，使得没有两个不同的结点有相同的变量（相同的变量在OBDD里只有可能在同一层）以及相同的$low(\cdot )$和$high(\cdot )$子结点。对应于ROBDD的性质唯一性（Uniqueness）。
2. 消除冗余，使得没有结点有相同的$low(\cdot )$和$high(\cdot )$子结点。对应于ROBDD的性质非冗余测试性（Non-redundant test）。

上面的OBDD合并同构子图后，如下图：

再消除冗余后，得到Reduced Ordered Binary Decision Diagram (ROBDD)，如下图：

大多数时候，BDDs指的就是化简完的ROBDD。对于一个布尔表达式，在给定的变量顺序下，ROBDD是唯一的。使用ROBDD可以在线性时间内做等价性检验（Equivalence Checking），在常数时间内做满足性检验（Satisfiability Checking）。

对于同一个布尔表达式的不同变量顺序下的ROBDD，其复杂程度可能相差非常大，如下图：

寻找最佳的变量顺序是NP难问题。

3 两OBDD上的APPLY运算

给定$B\varphi$和$B\psi$是两个OBDD，其中$\varphi$和$\psi$表示它们所表示的布尔表达式，定义两OBDD的APPLY运算：
$$apply(op,B\varphi ,B\psi )$$

其运算结果是对应与布尔表达式$\varphi op\psi$的OBDD。

具体计算方法是，从根节点出发，每次找两个OBDD的相对应的path的结果进行op运算，得到的就是新的OBDD上这条path的结果。

4 OBDD上的RESTRICT运算

给定$B\varphi$是一个OBDD，定义RESTRICT运算：
$$\begin{gathered} restrict(0,x,B\varphi ) \\ restrict(1,x,B\varphi ) \end{gathered}$$

其运算结果是对布尔表达式中$x$进行真值指派（$\varphi [0/x]$和$\varphi [1/x]$）得到的新公式的OBDD。

以指派为$0$为例（$1$也是类似的），具体计算方法是，对于所有变量是$x$的结点$v$，让其入边直接指向$low(v)$，然后删除结点$v$。

参考阅读

BDD MODEL CHECKING by Loïc Massin

最后

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