向量范数

声明： 仅个人小记
前言：范数在不同场合下可以有不同的解释，利用范数优良的抽象性质，在不同的场合下可以解释为不同的东西。于我而言，学习范数概念使我意会到 “高度抽象的距离” 这个概念。而“距离”这个概念在机器学习等领域随处可见

一、向量范数总体定义

$${\Vert \vec{v}\Vert }_p={({|v_1|}^p+{|v_2|}^p+...+{|v_n|}^p)}^{\frac{1}{p}}$$

二、向量范数效果展示

绘制${\Vert \vec{v}\Vert }_p=1$的图像如下

1. 当 p = 0
2. 当 p = 1

4. 当 p = +$\infty$
5. 随着p的大小的演变过程，如下

上述绘图编制的python代码

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

x = np.linspace(-1,1,10000)
fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(111)
ax.set_aspect('equal')
P = 5
for p in np.arange(0.3,P,0.2):
    y = np.power(1-np.power(np.abs(x),p),1/p)
    # 注意plot 是连点绘图方法，所以注意避免额外的连线产生
    ax.plot(np.hstack([x,x[::-1]]),np.hstack([y,-y[::-1]]))
    plt.title('p = '+str(p))
    plt.pause(0.8)

三、向量范数细究

根据总体定义具体分析几个特殊定义

(1) 0范数$$||\vec{v}|{|}_0=非零元素个数$$
(2) 1范数$$\begin{gathered} {\Vert \vec{v}\Vert }_1=(|v_1{|}^1+|v_2{|}^1+...+|v_n{|}^1{)}^1 \\ =|v_1|+|v_2|+...+|v_n| \end{gathered}$$1范数可以用来表示曼哈顿距离，示意图如下，规定：只允许上下左右移动，不允许斜着移动，在这种情景下，1范数就可以很好的用来作为两点之间的距离的测度。

图中AB两点的曼哈顿距离为8，即$||\overrightarrow{AB}|{|}_1=8$,图（1）、（2）和（4）的虚线都是A到B点的最短距离轨迹。
(3) 2范数$${\Vert \vec{v}\Vert }_2={(v_1^2+v_2^2+...+v_n^2)}^{\frac{1}{2}}$$显然，2范数可以用来表示欧式距离

(4)无穷范数$$\begin{gathered} {\Vert \vec{v}\Vert }_{\infty }={(|v_1{|}^{\infty }+|v_2{|}^{\infty }+...+|v_n{|}^{\infty })}^{\frac{1}{\infty }} \\ ={((\frac{|v_1{|}^{\infty }}{max|v_i{|}^{\infty }}+\frac{|v_2{|}^{\infty })}{max|v_i{|}^{\infty }}+...+\frac{|v_n{|}^{\infty }}{max|v_i{|}^{\infty }})max|v_i{|}^{\infty })}^{\frac{1}{\infty }} \\ =(\frac{|v_1{|}^{\infty }}{max|v_i{|}^{\infty }}+\frac{|v_2{|}^{\infty })}{max|v_i{|}^{\infty }}+...+\frac{|v_n{|}^{\infty }}{max|v_i{|}^{\infty }}{)}^{\frac{1}{\infty }}max|v_i|=k^{\frac{1}{\infty }}max|v_i| \end{gathered}$$k为正整数,所以$$||\vec{v}|{|}_{\infty }=max|v_i|$$无穷范数可以表示向量的最大元素。

最后

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