从矩阵范数的定义中，多了一个相容性。因为抽象空间中的向量是不能乘的，但是矩阵是可以乘的。直接定义满足这四个条件的范数很难，直接定义非常麻烦。
为了定义相容的矩阵范数，引出一个方法：诱导范数。
诱导范数的定义
给矩阵A乘一个单位向量，相当于对单位向量做了一次变换，假设变换是下面图中所示的。
∣
∣
A
x
∣
∣
||Ax||
∣∣Ax∣∣就有一个长度，就是一个范数。我们把矩阵
A
A
A的范数称为
∣
∣
A
∣
∣
||A||
∣∣A∣∣.
定理
证明
证两个方向
诱导范数和向量范数的相容性
常用诱导范数
如果按定义去计算
∣
∣
A
x
∣
∣
||Ax||
∣∣Ax∣∣的范数会很麻烦，首先要计算
A
x
Ax
Ax，最后是一个向量，然后如果计算1范数的话，就在把每一列绝对值加和。
有种简单的计算方式：
上面的公式解决了由向量1范数、2范数、无穷范数诱导出来的矩阵范数的计算。
对一式进行证明：
x
x
x是一个单位向量。注意诱导范数都是由单位向量诱导出来的。由于向量
x
x
x的1范数满足三角不等式，也就是
A
1
x
1
+
A
2
x
2
+
A
3
x
3
.
.
.
A_1x_1+A_2x_2+A_3x_3...
A1x1+A2x2+A3x3...满足三角不等式，所以可以写成下面的形式。
先证小于等于：
取了个特殊的向量证大于等于
从而只能相等。
范数例题
注意是共轭转置，有复数的话，要变符号。
最后
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