矩阵分析学习（二）

一、线性空间的同构：

一个集合V是否构成数域P的一个线性空间,主要看它是否定义了“加法”和“数乘”运算,以及这两种运算是否满足线性空间的八种运算规则。

定义1：数域P上的两个线性空间V1和V2称为是同构的，如果V1和V2之间存在一一对应关系σ，使得对于任意x，y属于V1使得λ属于P均满足：σ(x+y)=σ(x)+σ(y)、σ(λx)=λσ(x)称σ为V1到V2上的同构映射；

简单的理解：V1和V2称之为是同构的，如果这两者之间能建立起元素（向量）的一一对应关系，并且这个对应能够保持在V1中的加法和数乘运算。

数域P上每个n维线性空间V，当确定一组基的时候，V与Pm同构。（一种一一对应关系）

同构是有限维线性空间 ，其维数相同。

定理1：数域P上的两个n维线性空间V1和V2都是同构的。（维数相同）

推论：数域P上的两个有限维的线性空间同构的充要条件是维数相同。

二、线性变换的概念：

定义1：线性空间V的一个变换T称为线性变换。如果对于任意x，y属于V，以及λ属于数域P都满足一下条件：

1、T(x+y)=T(x)+T(y)        2、T(λx)=λT(x)；（在变换T上满足加法和数乘的封闭运算，x和y均是向量）

由此定义可知，线性变换T是V->V的“保持向量加法”及“数乘”的变换。线性变换T的定义也可以描述为：若T是V到V的映射，x，y是V中的任意元素，λ属于数域P的任意元素，如果在T的作用下x->x'，y->y'，则有x+y->x'+y'，λx->λx'。在这里称T(x)或x'为向量x在线性变换T下的象，x叫做T(x)或x'的原象。在这里约定V的任意两个线性变换T与S认为是相等的，即T(x)=S(x)

在线性空间V中的每一个向量都映射到零向量的变换称为0变换，反之映射到自身的变换称为单位变换。这里的0变换和单位变换都是线性变换。（线性变换的例子：多项式求导、多项式的不定积分，矩阵运算等）

线性变换的性质：1、T(0)=0；2、T(-x)=-T(x)；

设V是数域P上的线性空间，T1、T2、T3是V的三种线性变换，在此基础上定义三种运算：（基本运算）

1）线性变换的和：对于任意x属于V，则满足 T(x)=T1(x)+T2(x)，变换T称为线性变换T1和T2的和，记做T=T1+T2；

2）线性变换的乘积：对于任意x属于V，则满足T(x)=T1(T2(x))，变换T称为线性变换T1和T2的乘积，记做T=T1*T2；

线性变换的和以及乘积仍然是线性变换。

3）线性变换的数量乘法：对于任意x属于V,λ属于数域P,满足T(x)=λ(T1(x)),变换T称为数λ与线性变换T1的数量乘法,记做T=λT1；

线性变换T1、T2、T3对于结合律成立：T1*(T2*T3)=(T1*T2)*T3；结合律

线性空间V中的线性变换的加法满足交换律以及结合律；

线性空间V中线性变换的乘法对于加法的分配律成立。

线性空间V中的零变换O以及任意线性变换T，均满足：T+O=T、T+(-T)=O；

数量乘法满足一下关系式：（对于这里的a和b属于数域P，T1和T2以及T均为V的任意线性变换）

定理：I为线性空间V中的单位线性变换，T为V的线性变换，如果存在一个V的线性变换S使得：TS=ST=I成立，则称线性变换T是可逆的，S称为T的逆变换，记做T^-1；（如矩阵类似，并非每个线性变换都是可逆的）

三、线性变换的矩阵表示：

定理：V为数域P上的n维线性空间，a1,a2....,an为线性空间V的一组基，又b1,b2...,bn是V的任意n个向量，则存在唯一的线性变换T，使得 T(ai)=bi （i为小于等于n的自然数）

在这里（Ta1,Ta2....Tan）=（a1,a2,...an）A；A为线性变换T在基（a1,a2,...,an）下的矩阵；

同理我们可以定义（Tb1,Tb2....Tbn）=（b1,b2,...bn）B；T在基（b1.b2,...bn）下的矩阵；

（Tb1,Tb2....Tbn）=T（b1,b2,...bn），由两组基的过渡矩阵可得出，T（b1,b2,...bn）=T（a1,a2,...an）P

已知（Ta1,Ta2....Tan）=T（a1,a2,...an）=（a1,a2,...an）A；带入上式中，得（Tb1,Tb2....Tbn）=（a1,a2,...an）AP

在由（b1.b2,...bn）=（a1,a2,...,an）P得出（a1,a2,...,an）=（b1.b2,...bn）P^-1，与上式联立得出

（Tb1,Tb2....Tbn）=（b1.b2,...bn）P^-1AP，得出T在基（b1.b2,...bn）下的矩阵B=P^-1AP；

定义：A，B属于P^n*n，存在可逆矩阵P，使得B=P^-1AP则称A相似于B

性质：相似具有自反性、对称性、传递性；

最后

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