27复矩阵和快速傅里叶变换

这一节，我们将会把线性代数扩展到新的数域，复数。

一、复数向量和复数矩阵

线性代数的完整讨论离不开复数。线性代数讨论到复数域，许多概念都会有新的扩展：如转置、正交、正交矩阵、模长等等。有了这些新的扩展概念，傅里叶矩阵（Fourier matrix）这类在工程领域广泛应用的复数矩阵也能够被我们用线性代数研究。傅里叶矩阵的特点就是列向量之间是相互正交的，当然这里说说的是复列向量。

共轭转置（Conjugate transpose）：
$${\bar{z}}^T=\left[\begin{array}{cccc}{\bar{z}}_1& {\bar{z}}_2& \cdots & {\bar{z}}_n\end{array}\right]$$
其中，$z$是一个复列向量。

复向量模长平方（Length squared）：
$$||z|{|}^2=\left[\begin{array}{ccc}{\bar{z}}_1& \cdots & {\bar{z}}_n\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\bar{z}}_1\\ ⋮\\ {\bar{z}}_n\end{array}\right]=|z_1{|}^2+|{z_1}^2+\cdots +|z_n{|}^2$$
也就是${\bar{z}}^{T}z=||z|{|}^2$，我们把对于矩阵（含列向量）的转置和共轭运算称为$Hermitian$运算。记作$z^H$。

定义复向量内积运算：
$${\bar{z}}^{T}z=z^{H}z=|z_1{|}^2+|{z_1}^2+\cdots +|z_n{|}^2$$

1.3 复对称矩阵

如果一个复矩阵满足：
$$Z^H=Z$$
那么这个矩阵就“Hermitian matrix”，显然其对角线必须是一个实数。如：$\left[\begin{array}{cc}2& 3+i\\ 3-i& 5\end{array}\right]$

这样的矩阵不仅特征值为正数，而且特征向量也相互正交。

1.4 酉矩阵（Unitary matrix）

一个复数矩阵如果满足：
$$Z^{H}Z=I$$
这个概念和单位正交概念对应。

二、傅里叶矩阵与快速傅里叶变换

2.1 傅里叶矩阵

傅里叶矩阵$F_n$本身也是一个酉矩阵，其形式如下：
$$\left[\begin{array}{ccccc}1& 1& 1& \cdots & 1\\ 1& w& w^2& \cdots & w^{n-1}\\ 1& w^2& w^4& \cdots & w^{2(n-1)}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 1& w^{n-1}& w^{2(n-1)}& \cdots & w^{(n-1{)}^2}\end{array}\right]$$
其中，$w$是一个复数：$w=e^{\frac{2\pi }{n}\cdot i}$，这里的$i$是一个复数，不是一个变量。容易得到以下结论：

• $w^n={(e^{\frac{2\pi }{n}\cdot i})}^n=e^{2\pi i}=1$

• $w^k={(e^{\frac{2\pi }{n}\cdot i})}^k=e^{k\cdot \frac{2\pi }{n}\cdot i}$ ，也就是多少次方等于均分圆的第几个

考虑4阶傅里叶矩阵：
$$F_4=\left[\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 1& w& w^2& w^3\\ 1& w^2& w^4& w^6\\ 1& w^3& w^6& w^9\end{array}\right]$$
带入$w=e^{\frac{2\pi }{n}\cdot i}$有：
$$F_4=\left[\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 1& i& -1& -i\\ 1& -1& 1& -1\\ 1& -i& -1& i\end{array}\right]$$
对应的共轭矩阵转置：
$$F^H={\bar{F}}_4^T=\left[\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 1& -i& -1& i\\ 1& -1& 1& -1\\ 1& i& -1& -i\end{array}\right]$$
首先，这个矩阵列之间是相互正交的，正交矩阵满足$Q{Q}^T=I$，不过到了复数则是满足：$Q{Q}^H=I$

有以下关系：
$$F_4^H{F}_4=4I$$
因为$|F_4|=|F_4^H|=2$，所以有：
$$(2F_4^H)(2F_4)=I$$
上面这个式子告诉我们，只需要将傅里叶矩阵正交化后其逆矩阵非常容易求解。

2.2 快速傅里叶矩阵(没咋看明白，有时间再看)

来看一下傅里叶矩阵每个元素的通项：
$$(F_n{)}_{ij}=W^{ij}$$
W的指数等于行序号乘以列序号。注意这里的$i$和$j$都是从0开始的自然数。

思考一个问题$F_{64}$和$F_{32}$的关系是什么？
答：$(W_{64}{)}^2=W_{32}$

这让我们看到一丝简化的希望：

$$\left[\begin{array}{c}{F}_{64}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}I& D\\ I& -D\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{F}_{32}& 0\\ 0& F_{32}\end{array}\right]P$$
其中$P$是列的奇偶置换矩阵，矩阵$D$
$$D=\left[\begin{array}{ccccccc}1& & & & & & \\ 0& W& & & & & \\ 0& 0& W^3& & & & \\ & & & & & & \end{array}\right]$$
经过上述分解，就可以将计算出复杂度$\frac{1}{2}nlo{g}_{2}n$

最后

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