快速傅里叶变换_MIT线性代数笔记3.2(复数矩阵 快速傅里叶变换)

这一讲我们攻克复数矩阵, 也就是矩阵里面的元素是有复数的！以及复数矩阵的一个伟大的应用，离散傅里叶(DFT)变换 和DFT的一种快速实现算法：快速傅里叶变换(FFT)。

复矩阵在普通工程实际应用中不是很多，但是傅里叶变换可以用处及其广泛了。

复向量(Complex vectors)

将矩阵和向量的范围扩张到复数域：

以前我们定义向量点积 为

，就是这样：

但是这样有个问题，比如下面这货的点积：

这玩意长度不应该是0，在复平面内，应该是

啊？！ 没关系。。我们。。修改一下点积的定义。。：

，看到了么，乘之前不仅仅先转置，而且先共轭。。好骚的操作。。这样我们就能凑出长度来了：

对于复数向量来说，求长度需要变成共轭转置

才行

这个共轭转置操作记作：

H代表Hermite 中文叫做 埃尔米特

划重点:复向量的点积公式：

复矩阵(Complex matrices)

Hermitian matrices（埃尔米特矩阵）

Hermitian 矩阵是对称矩复数的推广

它是

一个典型的Hermitian 矩阵：

Hermitian矩阵对应着实数域的对称矩阵!!!

酉矩阵(Unitary matrices)

好吧，这玩意就是就是类比实数矩阵的正交矩阵，换个名字推广到复数空间而已！

在复向量中，如何定义两个向量互相垂直呢，这么定义：

于是我们可以定义复域下的"正交矩阵"

这个矩阵叫做Unitary matrices, 它是正交矩阵的复数推广。 酉矩阵的列向量也是正交，并且长度为1的

酉矩阵对应实数域的正交矩阵!!!

离散傅里叶变换(Discrete Fourier transform)

还记得傅里叶级数么： 一个函数可以表示成不同频率的正弦余弦叠加：

下面我们进行离散化：

离散傅里叶转换矩阵：定义傅里叶矩阵：

这个傅里叶矩阵性质其实很好，首先他是个对称矩阵，其次:

，其中

.并且他每一列都是互相垂直的。也就是说，傅里叶矩阵是对称矩阵，是正交矩阵！

这里要有个很重要的概念

代表在复平面内转圈， i就代表在复平面内旋转90°

一个最简单的例子：

注意这里

还不是 unitary matrix,因为各个列只是垂直，但没有单位化，

才是：

一个例子： 一个单位脉冲响应：

经过傅里叶变幻后得到：

一个单位脉冲响应的傅里叶变换是所有频域。。

我们还可以进行逆变换，把频域信号，变成时域信号。

因为

才是酉矩阵，所以乘上

之后还要再除以n才能得到逆变换。

快速傅里叶变换(Fast Fourier transform，FFT)

傅里叶变换在工程学上的应用已经不用多说了，但是运算比较复杂。但是有著名的快速傅里叶变换。下面就介绍快速傅里叶变换是怎么回事。

傅里叶矩阵的计算可以简化为 分块矩阵，傅里叶当时估计也没意识到这点，但是高斯意识到了，这种加速运算可以大大减少计算量

其中P是一个置换矩阵

D是一个对角矩阵：

这样可以将一个2n的 傅里叶矩阵 乘法变成一个N的傅里叶矩阵乘法，再加上一个简单的矩阵运算。虽然看起来比较复杂，但实际上大大减少了运算量。对于一个1024大小的变换。FFT比普通傅里叶变换快200倍。神奇吧！FFT在各行各业都有极其广泛的应用。这是现代科学的基石！

习题

题1 计算傅里叶矩阵

答：

相当于在复平面内转了180度，所以从1到了-1.

题2 在快速傅里叶变换中，找到对角矩阵D和置换矩阵P:

答：在上一题中，可以得到：

，进而得到：