希尔伯特变换_学习笔记1-傅里叶变换1

最终目标是解微分方程。第一章首先介绍了一般意义下的傅里叶变换，之后逐渐将傅里叶变换的概念抽象化，将变换的定义域进行拓展。最后少量介绍傅里叶变换在偏微分方程中的应用。习题解答是自己写的，有的不会，有的不知道对不对。

傅里叶变换是解偏微分方程的有力工具，因为它就像拉普拉斯变换一样，可以将微分方程转变为代数方程。通常的傅里叶变换由

然而，逼近的思想同时面临着两个问题，其一是收敛函数列的傅里叶变换不一定收敛，这就导致类似于

这个问题最终的解决办法，是将一部分性质极其好的函数作为测试函数，之后用傅里叶变换与内积所满足的性质反向地公理化定义傅里叶变换，并筛选出可以进行傅里叶变换的函数。这个函数空间叫作广义缓增函数空间，而测试函数所构成的空间叫作急降函数空间。广义缓增函数空间包含了所有在无穷远处以多项式速度增长的函数，而且甚至还包含了一些一般意义上根本不是函数的“函数”。狄拉克

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第一节，

定义1.1，对于

定理1.1，设

1，
2，
3，
4，记
5，
6，记
7，设
8，

命题1.1，记

定义1.2，设

定理1.2，设

命题1.2，设

进一步，如果
如果

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第二节，

假定

定理1.3，设

因此，傅里叶变换在

定理1.4，傅里叶变换是

定理1.5，对于

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第三节，缓增广义函数

对于

记

定义1.3，设

定理1.6，傅里叶变换是

定义1.4，称

1，
2， 如果

记所有缓增广义函数的集合为

对于任意有界函数

定义1.5，对于

定义1.6，设

定理1.7，傅里叶变换是

定义1.7，设

此时有

命题1.3，对于

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证明、例题

例1.1，对于

不失一般性令
因此

例1.2，计算

对于
因此，

命题1.2证明：
设

定理1.1(6)与 例1.1 1.1(8)
如果

定理1.3证明
设

习题1.7）
由于
所以 习题1.7）
因此，根据定理1.2，
同时，

例1.3，计算

虽然

例1.4，设

其中

例1.5，计算

因此，

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习题1.1

(i)

(ii)

已知

因此

习题1.2

(i)证明在

当

因此即使

习题1.3

证明Young不等式：令

因此

习题1.4

证明Minkowski不等式：

用

习题1.5，令

(i)证明哈代不等式：

令

(ii)证明等号成立且仅成立于

不会

习题1.6，视傅里叶变换为

(i)证明其是单射

根据命题1.2作逆变换直接得到结论

(ii)证明傅里叶变换的像对乘法封闭

根据傅里叶变换对卷积的性质直接得到结论

(iii)证明

一维的时候，

高维的时候，令

习题1.7

(i)证明定理1.1中公式的一般化：如果

(ii)对于

对于前者，只需证明

由于

由于

综上连续性得证

对于后者，

因此，可以取到足够大的

(iii)设

根据命题1.2，

因为

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Felipe Linares, Gustavo Ponce (auth.) - Introduction to Nonlinear Dispersive Equations (2015, Springer-Verlag New York)