[EE261学习笔记] 3.傅里叶变换推导

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我是靠谱客的博主淡然宝马，最近开发中收集的这篇文章主要介绍[EE261学习笔记] 3.傅里叶变换推导，觉得挺不错的，现在分享给大家，希望可以做个参考。

概述

在前几篇笔记中，我们推导了傅里叶级数相关公式，这次的笔记将进行傅里叶变换的推导
傅里叶变换的核心思想是：将任意非周期函数看作周期无限长的周期函数，因此可以调用傅里叶级数的相关公式

我们不妨设 $f (t)$ 为周期 $T$ 的信号函数，先导出：

$sum_{k=-infty}^infty C_k e^{2pi ik(frac{t}{T})} \ &= sum_{k=-infty}^infty C_k e^{2pi i(frac{k}{T})t} tag1 end{aligned}$

运用和傅里叶级数的系数推导过程相同的方法（详见傅里叶级数推导过程中的 $C_k$ 推导），我们有：

$int_{-frac{T}{2}}^{frac{T}{2}} C_mdt &= int_{-frac{T}{2}}^{frac{T}{2}}f(t)e^{-2pi im(frac{t}{T})}dt -sum_{k neq m}C_k int_{-frac{T}{2}}^{frac{T}{2}}e^{2pi i(k-m)(frac{t}{T})}dt\ &=int_{-frac{T}{2}}^{frac{T}{2}} e^{-2pi im(frac{t}{T})} f(t)dt - 0\ &=int_{-frac{T}{2}}^{frac{T}{2}} e^{-2pi i(frac{m}{T})t} f(t)dt end{aligned}$

等式左边为 $TC_m$ ，因此对于任意k，我们移项后可以得到：

$C_k = frac{1}{T}int_{-frac{T}{2}}^{frac{T}{2}} e^{-2pi i(frac{k}{T})t} f(t)dt tag2$

我们假设函数在区间 $[a, b]$ 内大于等于零，其余均为零，则我们令周期大于等于 $a - b$ 的长度，并将其包围，如下图

f(t)

接下来，我们正式开始推导傅里叶变换
注意，当 $T \to \infty$ 时，如果我们直接用 $(2)$ 式进行推导：

$C_k &= frac{1}{T}int_{-frac{T}{2}}^{frac{T}{2}} e^{-2pi i(frac{k}{T})t} f(t)dt\ &= frac{1}{T}int_a^b e^{-2pi i(frac{k}{T})t} f(t)dt end{aligned}$

当我们对 $C_k$ 取模时（由高等数学知识，我们知道积分的绝对值小于等于绝对值的积分），

$C_k right rvert leq frac{1}{T}int_a^b left lvert e^{-2pi i(frac{k}{T})t} right rvert left lvert f(t) right rvert dt$

由欧拉公式，我们可以知道 $e^{ix}$ 的模长总为 $1$ （复数的模长等于其实部与虚部的平方的平方根），因此我们有：

$C_k right rvert leq frac{1}{T}int_a^b left lvert f(t) right rvert dt$

等式的右边的积分 $int_a^b left lvert f(t) right rvert dt$ 为定积分，因此当 $T \to \infty$ 时， $C_k to 0$

显然这个结果对实际应用而言毫无意义，直接带入并求极限并不能得到我们需要的结果。因此我们换用以下方式：

首先，我们定义

$int_{-frac{T}{2}}^{frac{T}{2}} e^{-2pi i(frac{k}{T})t} f(t)dt$

那么 $(2)$ 、 $(1)$ 式就可以分别改写为：

$C_k = frac{1}{T} mathscr{F}f(frac{k}{T})$

$sum_{k=-infty}^infty frac{1}{T} mathscr{F}f(frac{k}{T}) e^{2pi i(frac{k}{T})t}$

我们发现，当 $T \to \infty$ 时， $1 T frac{1}{T}$ 就成为了一个连续变量的 $Δ s$ ，而 $k T frac{k}{T}$ 就可以写为自变量 $s$ （这里我们将其设为 $s$ ），不难发现，这就是我们对于积分的定义。因此,当 $T \to \infty$ 时，我们有: