2017 ACM-ICPC World Finals D Money for Nothing

题目

在一个平面直角坐标系上有$n$个矩形的左下端点和$m$个矩形的右上端点。

找到一个左下端点和一个右上端点，使得形成的矩形面积最大。

$n,m\le 5\ast 10^5$

似曾相识。

首先将一些显然不会最优的点去掉，那么就会得到两个点的序列，都是从左上到右下排布。

考虑对于一个右上端点$a$，假如有左下端点$p$比左下端点$q$优：

$(x_a-x_p)(y_a-y_p)\ge (x_a-x_q)(y_a-y_q)$

整理得$(x_p{x}_q-y_p{y}_q)-x_a(y_p-y_q)-y_a(x_p-x_q)>0$

如果$p<q$，那么$y_p-y_q>0,x_p-x_q<0$，所以当$x_a$减小或$y_a$增大时，这条式子仍然成立。此时如果有$b<a$，那么对于$b$来说，选择$p$比选择$q$优。

如果$p>q$，类似地考虑。

于是就可以发现决策单调性。

直接按顺序DP是不行的，因为如果要找到决策点，那么要从上一个位置的决策点找到序列末尾。

所以可以分治地做：设$(L,R,l,r)$表示处理右上端点$[L,R]$区间，左下端点$[l,r]$区间。每次取$[L,R]$中点$mid$，找到它的最优决策点$p$，然后分成两个子问题$(L,mid-1,l,p)$和$(mid+1,R,p,r)$。

可能会出的锅是会出现不合法的情况，就是它们实际上的位置关系并不满足右上左下的偏序关系。

麻烦的做法是：求出对于每个右上端点的合法的左下端点的区间。求出$p$之后，将序列分成三个部分：区间包含$p$的，区间在$p$左边的，区间在$p$右边的，然后继续做。实现比较复杂，反正我没有成功。时间复杂度应该是$O(n\lg n)$的。

简单的做法是：不合法的情况只需要考虑，右上变左下，左下变右上的情况。发现如果出现这种情况，那么两个序列各自分成两段，两边变成子问题继续做下去是没有问题的。因为如果出现了如此的$mid$和$i$（$i$贡献不要求最大），那么$(mid,R]$和$[l,i)$不会互相影响。时间复杂度也是$O(n\lg n)$.

using namespace std;
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cassert>
#define N 500010
#define ll long long
#define INF 2000000000
int n,m;
struct DOT{
	int x,y;
} a[N],b[N];
bool cmpd(DOT a,DOT b){return a.x<b.x || a.x==b.x && a.y<b.y;}
void init(DOT a[],int &n,int f){
	if (f==-1)
		for (int i=1;i<=n;++i)
			a[i].x*=-1,a[i].y*=-1;
	sort(a+1,a+n+1,cmpd);
	int t=0;
	int y=INF;
	for (int i=1;i<=n;++i)
		if (i==1 || a[i].y<y)
			a[++t]=a[i],y=a[i].y;
	n=t;
	if (f==-1){
		for (int i=1;i<=n;++i)
			a[i].x*=-1,a[i].y*=-1;
		reverse(a+1,a+n+1);
	}
}
int L[N],R[N],pl[N],pr[N];
ll ans;
ll calc(int i,int p){
	return (ll)(b[i].x-a[p].x)*(b[i].y-a[p].y);
}
void divide(int bl,int br,int al,int ar){
	if (bl>br || al>ar) return;
	int mid=bl+br>>1;
	int p=-1;
	for (int i=al;i<=ar;++i){
		if (b[mid].x<=a[i].x && b[mid].y<=a[i].y){
			divide(bl,mid-1,al,i-1);
			divide(mid+1,br,i+1,ar);
			return;
		}
		if (p==-1 || calc(mid,p)<calc(mid,i))
			p=i;
	}
	if (p!=-1)
		ans=max(ans,calc(mid,p));
	divide(bl,mid-1,al,p);
	divide(mid+1,br,p,ar);
}
int main(){
	freopen("in.txt","r",stdin);
	freopen("out.txt","w",stdout);
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for (int i=1;i<=n;++i)
		scanf("%d%d",&a[i].x,&a[i].y);
	for (int i=1;i<=m;++i)
		scanf("%d%d",&b[i].x,&b[i].y);
	init(a,n,1);
	init(b,m,-1);
	for (int i=1;i<n;++i)
		assert(a[i].x<a[i+1].x && a[i].y>a[i+1].y);
	for (int i=1;i<m;++i)
		assert(b[i].x<b[i+1].x && b[i].y>b[i+1].y);
	divide(1,m,1,n);
	printf("%lldn",ans);
	return 0;
}

最后

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