面试题42. 连续子数组的最大和

题目描述：

输入一个整型数组，数组里有正数也有负数。数组中的一个或连续多个整数组成一个子数组。求所有子数组的和的最大值。

要求时间复杂度为O(n)。

示例1:

输入: nums = [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]
输出: 6
解释: 连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大，为 6。

提示：

1 <= arr.length <= 10^5
-100 <= arr[i] <= 100
注意：本题与主站 53 题相同：https://leetcode-cn.com/problems/maximum-subarray/

个人思路：

这道题描述了一个最优化问题，因此可以考虑是否满足动态规划（Dynamic Programming，DP）的解题要求。

一般可以应用动态规划求解的问题具有以下几个特点（总结自《剑指Offer》）：

1. 该问题是求解一个最优化的问题，例如最大值、最小值等。
2. 该问题的最优解依赖于一些子问题的最优解，这些子问题由整体问题分解而来。（这里的依赖关系以状态转移方程来描述）
3. 这些子问题之间还存在相互重叠的更小的子问题。（DP算法正是利用了子问题的重叠性，重复利用之前计算的结果，从而降低计算量，提高程序的运行效率）
4. 从上往下分析问题，从下往上求解问题。

对比以上特点，可以发现本题可以使用动态规划进行求解。下面需要完成DP的三个重要设定——状态定义、初始化以及状态转移。

1. 状态定义：其实也就是需要设定我们想要求解的子问题，或者说我们想要记录的一些数据。状态定义可以有很多种，很多题目多种状态定义都可以得到正确的结果，状态定义无非是为了后续方便写出状态转移方程，一般而言题目待求解的问题即可作为状态定义，但也有例外，例如本题。本题要求我们求解一个数组中的所有子数组的最大和。（这里我们需要区分子数组与子序列的区别：子数组要求各个数相邻，可以看做是原数组的一个切片；而子序列不要求各个数相邻，只需要保证各个数的相对位置不变即可，可以看做是原数组一系列切片的组合。）假设我们定义状态为:dp[i] 代表数组nums[:i+1]中子数组的和的最大值，此时最终我们只需输出dp[-1]即为原问题的结果。但是这种状态定义使得我们很难去描述状态转移方程，因为问题要求求解的是子数组，我们难以直接判断nums[i]是否是最优解dp[i]的一个贡献者，此时对于nums[i+1]难以直接与dp[i]进行关联。因此，我们不妨设定状态为：dp[i]表示以nums[i]结尾的数组中子数组的和的最大值，从而方便我们定义状态转移。
2. 初始化：DP问题中合理的初始化有利于统一边界判断，减少代码量以及出错的情况。本题最基础的情况就是一个数的数组，因此可以相应进行初始化，具体可见后续代码。
3. 状态转移：牢记我们的状态定义（dp[i]表示以nums[i]结尾的数组中子数组的和的最大值），就不难写出状态转移方程了：dp[i+1] = max(nums[i+1], dp[i] + nums[i+1])

再完成以上设定后，即可编写代码了。我觉得DP问题中，最重要的就是状态定义，一旦状态定义完成了，一切（初始化以及状态转移）都可以围绕其构建完成，一般状态定义就可以定义为原问题的简单子问题即可。

具体代码如下：

class Solution:
    def maxSubArray(self, nums: List[int]) -> int:
        if not nums:
            return -1
        
        # dp表示以当前元素结尾的子数组的最大和
        dp = [nums[0]] * len(nums)  # 状态定义以及初始化
        
        # dp[i] = max(nums[i], dp[i - 1] + nums[i])  状态转移方程
        for i in range(1, len(nums)):
            dp[i] = max(nums[i], dp[i - 1] + nums[i])
        
        return max(dp)  # 根据状态定义求解最终原问题的结果

最后

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