FFT的那些细节

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我是靠谱客的博主孤独音响，最近开发中收集的这篇文章主要介绍FFT的那些细节，觉得挺不错的，现在分享给大家，希望可以做个参考。

概述

用MATLAB进行谱分析时注意：
例：

N=8;
n=0:N-1;
xn=[4 3 2 6 7 8 9 0];
Xk=fft(xn)

→
Xk =

39.0000 -10.7782 + 6.2929i 0 - 5.0000i 4.7782 - 7.7071i 5.0000 4.7782 + 7.7071i 0 + 5.0000i -10.7782 - 6.2929i

（1）Xk与xn的维数相同，共有8个元素。Xk的第一个数对应于直流分量，即频率值为0。
（2）对周期信号做FFT分析时，幅值大小与FFT选择的点数有关，但不影响分析结果。在IFFT时已经做了处理。要得到真实的振幅值的大小，只要将得到的变换后结果乘以2除以N即可。这里指的是单边谱，如果是双边谱则是除以N。
（3）对非周期信号做FFT分析时，如果是双边边谱求得fft后/N是傅里叶级数，在傅里叶变换的频谱上体现是极小量，所以傅里叶变换的频谱指的是频谱密度，需要再除以f0=fs/N=1/NTs,所以是fft后/N再除以f0,最终是fft结果乘以Ts采样间隔。attention N是信号点数

例1：x=0.5sin(2pi15t)+2sin(2pi40t)。采样频率fs=100Hz，分别绘制N=128、1024点幅频图。

clf;
Ts=0.01;N=128;   %采样频率和数据点数
fs=1/Ts;
n=0:N-1;t=n*Ts;   %时间序列
x=0.5*sin(2*pi*15*t)+2*sin(2*pi*40*t); %信号
y=fft(x,N);    %对信号进行N点快速Fourier变换（这里的Nfft是等于Ndata的，Nfft<Ndata就是截断，>就是补零）
mag=abs(y);     %求得Fourier变换后的振幅
f=n*fs/N;    %频率序列 单位为Hz 
subplot(2,2,1),plot(f,mag);   %绘出双边谱随频率变化的振幅
axis([0 100 0 150]);
xlabel('频率/Hz');
ylabel('振幅');title('N=128');grid on;
subplot(2,2,2),plot(f(1:N/2),2/N*mag(1:N/2)); %绘出Nyquist频率之前随频率变化的振幅，单边谱,看真实幅值
axis([0 60 0 2]);
xlabel('频率/Hz');
ylabel('振幅');title('N=128');grid on;
%对信号采样数据为1024点的处理
Ts=0.01;N=1024;n=0:N-1;t=n*Ts;fs=1/Ts;
x=0.5*sin(2*pi*15*t)+2*sin(2*pi*40*t); %信号
y=fft(x,N);   %对信号进行快速Fourier变换
mag=abs(y);   %求取Fourier变换的振幅
f=n*fs/N;
subplot(2,2,3),plot(f,mag); %绘出随频率变化的振幅
xlabel('频率/Hz');
ylabel('振幅');title('N=1024');grid on;
subplot(2,2,4)
plot(f(1:N/2),2/N*mag(1:N/2)); %绘出Nyquist频率之前随频率变化的振幅
axis([0 60 0 2]);
xlabel('频率/Hz');
ylabel('振幅');title('N=1024');grid on;

在这里插入图片描述
fs=100Hz，Nyquist频率为fs/2=50Hz。整个频谱图是以Nyquist频率为对称轴的。并且可以明显识别出信号中含有两种频率成分：15Hz和40Hz。由此可以知道FFT变换数据的对称性。因此用FFT对信号做谱分析，只需考察0到Nyquist频率范围内的幅频特性，若没有给出采样频率和采样间隔，则分析通常对归一化频率0到1。
另外，振幅的大小与所用采样点数有关，采用128点和1024点的相同频率的振幅是有不同的表现值，但在同一幅图中，40Hz与15Hz振动幅值之比均为4：1，与真实振幅0.5：2是一致的。为了与真实振幅对应，需要将变换后结果乘以2除以N（单边谱）。变换之后40Hz小于2,15Hz小于0.5的原因是频谱泄漏。不是整周期截断，可看我的另一CSDN关于补零与频谱泄漏。
补零与频谱泄漏栅栏效应频谱分辨率

例2：x=0.5sin(2pi15t)+2sin(2pi40t),fs=100Hz,绘制：
（1）数据个数N=32，FFT所用的采样点数NFFT=32；
（2）N=32，NFFT=128；
（3）N=136，NFFT=128；
（4）N=136，NFFT=512。


clf;fs=100; %采样频率
Ndata=32; %数据长度
N=32; %FFT的数据长度
n=0:Ndata-1;t=n/fs;   %数据对应的时间序列
x=0.5*sin(2*pi*15*t)+2*sin(2*pi*40*t);   %时间域信号
y=fft(x,N);   %信号的Fourier变换
mag=abs(y);    %求取振幅
f=(0:N-1)*fs/N; %真实频率
subplot(2,2,1),plot(f(1:N/2),mag(1:N/2)*2/Ndata); %绘出Nyquist频率之前的振幅（真实单边谱）
xlabel('频率/Hz');ylabel('振幅');
title('Ndata=32 Nfft=32');grid on;

Ndata=32;   %数据个数
N=128;     %FFT采用的数据长度
n=0:Ndata-1;t=n/fs;   %时间序列
x=0.5*sin(2*pi*15*t)+2*sin(2*pi*40*t);
y=fft(x,N);
mag=abs(y);
f=(0:N-1)*fs/N; %真实频率
subplot(2,2,2),plot(f(1:N/2),mag(1:N/2)*2/Ndata); %绘出Nyquist频率之前的振幅
xlabel('频率/Hz');ylabel('振幅');
title('Ndata=32 Nfft=128');grid on;

Ndata=136;   %数据个数
N=128;     %FFT采用的数据个数
n=0:Ndata-1;t=n/fs; %时间序列
x=0.5*sin(2*pi*15*t)+2*sin(2*pi*40*t);
y=fft(x,N);
mag=abs(y);
f=(0:N-1)*fs/N;   %真实频率
subplot(2,2,3),plot(f(1:N/2),mag(1:N/2)*2/Ndata); %绘出Nyquist频率之前的振幅
xlabel('频率/Hz');ylabel('振幅');
title('Ndata=136 Nfft=128');grid on;

Ndata=136;    %数据个数
N=512;    %FFT所用的数据个数
n=0:Ndata-1;t=n/fs; %时间序列
x=0.5*sin(2*pi*15*t)+2*sin(2*pi*40*t);
y=fft(x,N);
mag=abs(y);
f=(0:N-1)*fs/N;   %真实频率
subplot(2,2,4),plot(f(1:N/2),mag(1:N/2)*2/Ndata); %绘出Nyquist频率之前的振幅
xlabel('频率/Hz');ylabel('振幅');
title('Ndata=136 Nfft=512');grid on;

（1）当数据个数和FFT采用的数据个数均为32时，频率分辨率较低，但没有由于添零而导致的其他频率成分。
（2）由于在时间域内信号加零，致使振幅谱中出现很多其他成分，这是加零造成的。其振幅由于加了多个零而明显减小，谱更细致，泄露的更多，所以真正想要的40 15Hz的幅值小于实际。
（3）FFT程序将数据截断，这时分辨率较高，本身的数据点也多。只要是fft肯定避免不了时域截断，所以避免不了频域频谱泄漏，这种误差可以通过加合适的窗函数或延长时间窗得以改善，对于周期信号，可以整周期截断从源头上遏制频谱泄漏。
（4）也是在数据的末尾补零，但由于含有信号的数据个数足够多，FFT振幅谱也基本不受影响。
对信号进行频谱分析时，数据样本应有足够的长度，一般FFT程序中所用数据点数与原含有信号数据点数相同，这样的频谱图具有较高的质量，可减小因补零或截断而产生的影响

例3：x=cos(2pi0.24n)+cos(2pi0.26n)

clf;fs=1; %采样频率
Ndata=10; %数据长度
N=10; %FFT的数据长度
n=0:Ndata-1;t=n/fs;   %数据对应的时间序列
x=cos(2*pi*0.24*t)+cos(2*pi*0.26*t);   %时间域信号
subplot(2,3,1),stem(t,x);
y=fft(x,N);   %信号的Fourier变换
mag=abs(y);    %求取振幅
f=(0:N-1)*fs/N; %真实频率
subplot(2,3,4),plot(f(1:N/2),mag(1:N/2)*2/Ndata); %绘出Nyquist频率之前的振幅（真实单边谱）
axis([0 0.5 0 1.5]);
xlabel('频率/Hz');ylabel('振幅');
title('Ndata=32 Nfft=32');grid on;

Ndata=10;   %数据个数
N=100;     %FFT采用的数据长度
n=0:Ndata-1;t=n/fs;   %时间序列
x1=cos(2*pi*0.24*t)+cos(2*pi*0.26*t);
x=zeros(1,N);
x(1:Ndata)=x1;
n=0:N-1;t=n/fs;   %时间序列
subplot(2,3,2),stem(t,x);
y=fft(x,N);
mag=abs(y);
f=(0:N-1)*fs/N; %真实频率
subplot(2,3,5),plot(f(1:N/2),mag(1:N/2)*2/Ndata); %绘出Nyquist频率之前的振幅
axis([0 0.5 0 2]);
xlabel('频率/Hz');ylabel('振幅');
title('Ndata=32 Nfft=128');grid on;

Ndata=100;   %数据个数
N=100;     %FFT采用的数据个数
n=0:Ndata-1;t=n/fs; %时间序列
x=cos(2*pi*0.24*t)+cos(2*pi*0.26*t);
subplot(2,3,3),stem(t,x);
y=fft(x,N);
mag=abs(y);
f=(0:N-1)*fs/N;   %真实频率
subplot(2,3,6),plot(f(1:N/2),mag(1:N/2)*2/Ndata); %绘出Nyquist频率之前的振幅
axis([0 0.5 0 1.5]);
xlabel('频率/Hz');ylabel('振幅');
title('Ndata=136 Nfft=128');grid on;

在这里插入图片描述
（1）数据点过少，几乎无法看出有关信号频谱的详细信息；
（2）中间的图是将x(n)补90个零，幅度频谱的数据相当密，称为高密度频谱图。但从图中很难看出信号的频谱成分。
（3）信号的有效数据很长，可以清楚地看出信号的频率成分，一个是0.24Hz，一个是0.26Hz，称为高分辨率频谱。
可见，采样数据过少，运用FFT变换不能分辨出其中的频率成分。添加零后可增加频谱中的数据个数，谱的密度增高了，但仍不能分辨其中的频率成分，即谱的分辨率没有提高。只有数据点数足够多时才能分辨其中的频率成分。