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前言

对于学习双线性映射知识过程中的一些理解

一、前置知识

如果对这部分知识比较了解可略过

1.域

域中元素进行加法、减法、乘法、除法之后运算的结果依然在域内
ex: 有理数集合，实数集合 反例：整数集合

1.1有限域

域F只包含有限个元素
阶：有限域中元素的个数称为有限域的阶；每个有限域的阶必为素数的幂，即有限域的阶可表示为$p^n$(p为素数，n是正整数），记为GF($p^n$)

2.群

2.1 群

群G有四个特性(设该群为乘法群）
1.封闭性，群中元素进行乘法运算后的结果依然在群中
2.结合律，$\forall$a,b,c $\in$G, a$\times$(b$\times$c) = (a$\times$b)$\times$c
3.存在单位元（幺元） $\exists$e $\in$ G,$\forall$a $\in$ G, a$\times$e = e$\times$a = e （加法的单位元是0，乘法的单位元是1）
4.任意元素都存在逆元 $\exists$e $\in$ G, $\forall$a $\in$ G, $\exists$$a^{-1}$$\in$ G , a$\times$$a^{-1}$ = $a^{-1}$$\times$a = e

2.2 循环群

循环群中所有的元素都是由一个元素生成，也就是所有的元素都是形如$g^n$ = g$\cdot$g$\cdot$ $\cdot$$\cdot$$\cdot$ $\cdot$g(n个g)，n为任意整数。这个生成所有元素的元素g称为生成元

循环群的阶：设G是由g$\in$G生成的循环群，使得$g^n=e$成立的最小正整数n称为群G的阶，记作|G|=n
如果|G|=n，则$g^n$=e(单位元)，群G为有限循环群
G={$g$,$g^2$,$g^3$,$\cdot$$\cdot$$\cdot$,$g^n=e$}

二、什么是双线性映射？

双线性映射有三个特性：
1、双线性， 即 $\forall$$u,v$ $\in$ G,$a,b$ $\in$ $Z_p$ , e($u^a,v^b$) = e($u,v{)}^{ab}$
2、非退化性， $e(g,g)$ $\ne$ 1
3、可计算性，存在有效的算法实现该映射

三、验证

1.导包

导入JPBC相关jar包

2.实现代码

import it.unisa.dia.gas.jpbc.Element;
import it.unisa.dia.gas.jpbc.Field;
import it.unisa.dia.gas.jpbc.Pairing;
import it.unisa.dia.gas.plaf.jpbc.pairing.PairingFactory;

public class JPBCDemo {

    public static void main(String[] args) {
        Pairing bp = PairingFactory.getPairing("a.properties");


        Field Zr = bp.getZr();
        Field G1 = bp.getG1();
        Field G2 = bp.getG2();

        Element g1 = G1.newRandomElement();
        Element g2 = G2.newRandomElement();
    
        Element a = Zr.newRandomElement();
        Element b = Zr.newRandomElement();

        Element g_a = g1.duplicate().powZn(a);
        Element g_b = g2.duplicate().powZn(b);
        Element egg_ab = bp.pairing(g_a, g_b);

        Element egg = bp.pairing(g1, g2);
        Element ab = a.duplicate().mul(b);
        Element egg_ab_p = egg. duplicate().powZn(ab);


        if (egg_ab .isEqual(egg_ab_p))
            System.out.println("Yes");
        else
            System.out.println("No");


    }
}

3.运行结果

最后

以上就是时尚发带为你收集整理的双线性映射（Bilinear Maps）实现（有限域、循环群）前言一、前置知识二、什么是双线性映射？三、验证的全部内容，希望文章能够帮你解决双线性映射（Bilinear Maps）实现（有限域、循环群）前言一、前置知识二、什么是双线性映射？三、验证所遇到的程序开发问题。

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