尝试回答下面问题：

双线性函数基础
1.什么是双线性函数？
2.举一个双线性函数的例子（除了最简单向量内积）
3.什么是双线性函数的度量矩阵？
4.写出一个你所举例子中的度量矩阵
5.用过渡矩阵对所选的基进行变换后，度量矩阵会发生怎样的变化？

对称双线性函数基础
1.什么是对称双线性函数，什么是反对称双线性函数？
2.对称双线性函数的度量矩阵是对称矩阵吗？如何证明？
3.是否有“若$f$为$\mathbb{C}$上的对称双线性函数且$f(\xi ,\xi )=0$，则$\xi =0$”？
4.是否有“如果$f(\alpha ,\beta )$是定义在复数域线性空间上维数>1的对称双线性函数，则有线性无关的向量$\xi ,\eta$使得$f(\xi ,\eta )=1,f(\xi ,\xi )=f(\eta ,\eta )=0$”？简述理由

反对称双线性函数基础
1.反对称双线性函数的度量矩阵是反对称矩阵吗？如何证明？
2.反称双线性函数的充要条件是$\forall \alpha \in V$都有$f(\alpha ,\alpha )=0$（北大第四P418 T13）

双线性函数基础和度量矩阵

什么是双线性函数？

$f(\alpha ,k_1{\beta }_1+k_2{\beta }_2)=k_{1}f(\alpha ,{\beta }_1)+k_{2}f(\alpha ,{\beta }_2)$
$f(k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2,\beta )=k_{1}f({\alpha }_1,\beta )+k_{2}f({\alpha }_2,\beta )$

能否举一个具体的双线性函数的例子（除了最简单向量内积）

$f(X,Y)=Tr(X^{\prime }AY)$，其中$X,Y\in P^{m\times n},A\in P^{m\times m}$。验证它是双线性函数，只需$f(X,k_{1}Y+k_{2}Y)=Tr(X^{\prime }A(k_1{Y}_1+k_2{Y}_2))=k_{1}Tr(X^{\prime }A{Y}_1)+k_{2}Tr(X^{\prime }A{Y}_2)$即可
这使用了迹的线性性质，这个双线性函数在欧几里得空间中是内积，且定义了名为Frobenuis的范数

什么是双线性函数的度量矩阵？

给出$f(\alpha ,\beta )$中$\alpha$和$\beta$所在空间V的一组基${ϵ}_1,...,{ϵ}_n$，度量矩阵为$(f({ϵ}_i,{ϵ}_j){)}_{n\times n}$

能否写出一个你所举例子中的度量矩阵？（北大第四P417 T10）

• 先给出$P^{m\times n}$的一组基：$E_{1,1},E_{1,2},...,E_{m,n}$，其中$E_{i,j}$表示只有第i行第j列元素为1，其余元素为0
• 先计算度量矩阵左上角的元素，计算Cannot read properties of undefined (reading 'type')
• 计算Cannot read properties of undefined (reading 'type')
• 计算Cannot read properties of undefined (reading 'type')
• 根据上述一般结果写出矩阵即可。(附上草稿纸)
  

用过渡矩阵对所选的基进行变换后，度量矩阵会发生怎样的变化？

“新基等于旧基度，新矩等于逆旧矩"这与内积的度量矩阵性质相同

对称双线性函数基础

什么是对称双线性函数，什么是反对称双线性函数？

对称双线性：$f(\alpha ,\beta )=f(\beta ,\alpha )$
反对称双线性：$f(\alpha ,\beta )=-f(\beta ,\alpha )$

对称双线性函数的度量矩阵是对称矩阵吗？如何证明？

任意一组基下，对称双线性函数的度量矩阵正定。思路如下：

因为$\forall \alpha ,\beta \in V,f(\alpha ,\beta )=X^{\prime }AY=\sum _{i,j}{a}_{ij}{x}_i{y}_j=f(\beta ,\alpha )=Y^{\prime }AX=\sum _{i,j}{a}_{ij}{y}_i{x}_j$，根据对称双线性定义+二次型性质选取$X={ϵ}_i,Y={ϵ}_j$，则有$a_{ij}=a_{ji}$，证毕。

是否有“若$f$为$\mathbb{C}$上的对称双线性函数且$f(\xi ,\xi )=0$，则$\xi =0$”？简述理由。（北大第四P418 T12）

不一定成立。// 这是定义在欧几里得空间中内积的正定性（欧几里得空间定义在$\mathbb{R}$），这里不一定成立

• 理由：可以选择一组基，使得$f$在这组基下的度量矩阵为Cannot read properties of undefined (reading 'type')的形式，其中$r$为度量矩阵的秩
  如果n=r=1，此时原命题成立，因为$f(\alpha ,\alpha )=(x_1{)}^{\prime }\cdot E_1\cdot (x_1)=x_1^2\ge 0$，
  如果$n\ge 2$，此时原命题不成立，原因：
  • 当$n>r$时我们可以找到一个$\xi$的坐标为$(\underset{r个零}{\underbrace{0,...,0}},\underset{n-r个1}{\underbrace{1,...,1}}{)}^{\prime }$使得$f(\xi ,\xi )={\xi }^{\prime }A\xi =0$，
    当$n=r$时，我们可以找到一个$\xi$的坐标为$(1,i,0...,0{)}^{\prime }$使得$f(\xi ,\xi )=0$

是否有“如果$f(\alpha ,\beta )$是定义在复数域线性空间上维数>1的对称双线性函数，则有线性无关的向量$\xi ,\eta$使得$f(\xi ,\eta )=1,f(\xi ,\xi )=f(\eta ,\eta )=0$”？简述理由

成立。可以使用构造法证明

取$\xi =(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{i}{\sqrt{2}},0,\cdots ,0)$，这使得$f(\xi ,\xi )=(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{i}{\sqrt{2}},0,\cdots ,0{)}^{\prime }{E}_r(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{i}{\sqrt{2}},0,\cdots ,0)=0$（f作为对称双线性函数，在上一题所选定的基下，度量矩阵为$E_r$）
取$\eta =(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{-i}{\sqrt{2}},0,...,0)$，这使得$f(\eta ,\eta )=0$，且$f(\xi ,\eta )=1$

反对称双线性函数基础

反对称双线性函数的度量矩阵是反对称矩阵吗？如何证明？

任意一组基下，反对称双线性函数的度量矩阵正定。思路同对称双线性函数

反称双线性函数的充要条件是$\forall \alpha \in V$都有$f(\alpha ,\alpha )=0$（北大第四P418 T13）

• 必要性：提示:能否写出反称双线性函数的定义？

• 充分性：由于$f(\alpha ,\alpha )=0$对于任意$\alpha$成立，故$\forall \beta \in V,f(\alpha +\beta ,\alpha +\beta )=0=f(\alpha ,\alpha )+f(\alpha ,\beta )+f(\beta ,\alpha )+f(\beta ,\beta )=f(\alpha ,\beta )+f(\beta ,\alpha )=0$，所以反称。

最后

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