【JPBC】Type A1型：初始化、子群的生成和正交性

JPBC中选用Type A1进行合数阶双线性群的初始化，Type A1的效率较Type A低但利用子群的正交性可以实现更复杂的功能。
Type A1中的G1=G2，是对称双线性群，G1，G2，GT的阶都是合数N，是一些大质数的乘积。除双线性映射的双线性、非退化性、可计算性外，G_N的子群满足正交特性，即子群之间的双线性运算结果必为1。

子群正交特性的计算：
设g是群G的生成元，G1、G2、G3是G的三个子群，阶分别为p1、p2、p3，则g^p2p3是G1的生成元，g^p1p3是G1的生成元，g^p1p2是G1的生成元，故G1中的元素为(g^p2p3)^x，G2中的元素为(g^p1p3)^y，G3中的元素为(g^p1p2)^z。那么，e(g^p2p3x, g^p1p2z)=e(g, g)^p2p3xp1p2z=(e(g, g)^p1p2p3)^xz=(e(g, g)^N)^xz=1

测试时，我首先用文件读取的方式进行初始化：

PairingParameters pairingParameters = PairingFactory.getPairingParameters("params/curves/a1.properties");
Pairing pairing = PairingFactory.getPairing(pairingParameters);

再根据 Java密码学原型算法实现——第三部分：双线性对中介绍的Type A1中产生随机数的方法，假定产生的Type A1有3个子群，阶分别为p1,p2,p3，产生随机数:

TypeA1CurveGenerator pg = new TypeA1CurveGenerator(3, 517);
PairingParameters typeA1Params = pg.generate();
Pairing pairing = PairingFactory.getPairing(typeA1Params);
//随机产生一个Gq中的元素
gp = ElementUtils.getGenerator(pairing, g.duplicate(), typeA1Params, 0, 3).getImmutable();
//随机产生一个Gq中的元素
gq = ElementUtils.getGenerator(pairing, g.duplicate(), typeA1Params, 1, 3).getImmutable();
//随机产生一个Gr中的元素
gr = ElementUtils.getGenerator(pairing, g.duplicate(), typeA1Params, 2, 3).getImmutable();

得到的随机数不满足子群正交性质，经过各种尝试，发现需要去掉上一个代码块的文件读取，直接使用第二个代码块进行子群初始化即可。
测试结果：

• 参数生成：
  

• 测试得到G1，G2，GT的阶都是同一个合数
  

• 双线性性质：
  

• 子群正交性质：
  

最后

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