我是靠谱客的博主 阳光草丛,最近开发中收集的这篇文章主要介绍8.3 几何空间1 欧几里得范数2 距离3 标准内积5 夹角与正交6 叉乘7 平行四边形法则8 欧几里得运动,觉得挺不错的,现在分享给大家,希望可以做个参考。

概述

文章目录

  • 1 欧几里得范数
  • 2 距离
  • 3 标准内积
  • 5 夹角与正交
  • 6 叉乘
  • 7 平行四边形法则
  • 8 欧几里得运动

  几何空间是用线性代数解决几何问题的一类空间,这是线性代数学习绕不过去的槛。几何空间,学习起来我觉得吧,主要是三个点:内积、长度、夹角。首先,它的符号是 R n R^n Rn,比如三维空间符号就是 R 3 R^3 R3,但是几何空间不等同于欧几里得空间,因为多了很多东西,比如说叉乘、面积、体积等等。

1 欧几里得范数

  欧几里得空间里每个向量的模长,也就是向量的长度,有个高大上的名词,叫欧几里得范数,英文euclidean norm。这个范数是怎么定义的呢?
∣ ∣ x ∣ ∣ = ∑ i = 1 n x i 2 ||x||=sqrt{sum^n_{i=1}{x^2_i}} ∣∣x∣∣=i=1nxi2
  比如向量 ( 1 , 1 , 1 ) T (1,1,1)^T (1,1,1)T的欧几里得范数就是 1 2 + 1 2 + 1 2 = 3 sqrt{1^2+1^2+1^2}=sqrt{3} 12+12+12 =3 .欧几里得范数实际上是向量到 0 0 0点的距离.这个距离就是它的长度,也叫模长。当然这个比较好理解,就算不学线性代数,我们利用中学数学的勾股定理,也可以推出这个公式。

2 距离

  在中学数学里,我们知道两点之间的距离是 ( x 1 − x 2 ) 2 + ( y 1 − y 2 ) 2 sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2} (x1x2)2+(y1y2)2 ,欧几里得空间,无论多少维度,都是在这个基础之上的。把这个公式拓展到n维,欧几里得空间的距离公式就是:
∣ x − y ∣ = ∑ i = 1 n ( x i − y i ) 2 |x-y|=sqrt{sum^n_{i=1}{{(x_i-y_i})^2}} xy=i=1n(xiyi)2
  比如向量 ( 1 , 1 , 1 ) T (1,1,1)^T (1,1,1)T到向量 ( 2 , 2 , 3 ) T (2,2,3)^T (2,2,3)T的距离就是 ( 1 − 2 ) 2 + ( 1 − 2 ) 2 + ( 1 − 3 ) 2 = 6 sqrt{(1-2)^2+(1-2)^2+(1-3)^2}=sqrt{6} (12)2+(12)2+(13)2 =6 .

3 标准内积

  定义了内积的实线性空间就叫欧几里得空间。标准内积是用来计算向量夹角的。这个夹角公式如下:
x ⋅ y = ∣ x ∣ ∣ y ∣ cos ⁡ θ xcdot y=|x||y|cos theta xy=x∣∣ycosθ
  而公式中的 x ⋅ y xcdot y xy就是标准内积standard inner product,也叫点积dot product。公式如下:
x ⋅ y = ∑ i = 1 n x i y i xcdot y=sum^{n}_{i=1}x_iy_i xy=i=1nxiyi
  有了标准内积,就很容易计算两个向量之间的夹角了。在实际应用中,也用欧几里得空间的向量夹角来求两个事物之间的相关性。
  在矩阵理论里,对标准内积进行了扩展,所以欧几里得空间的内积也被称为标准内积,以同广义的内积区分开来。因为本文只讲欧几里得空间,所以就不过多讲内积了。

5 夹角与正交

  正交orthogonal,也就是垂直perpendicular,前者是代数的概念,后者是几何里的概念,意思是一样的。垂直的话,夹角就是 π 2 frac{pi}2 2π,而 cos ⁡ π 2 = 0 cos frac{pi}2=0 cos2π=0,所以标准内积就是0,那么正交就很容易判断了。
( x , y ) = = 0 (x,y)==0 (x,y)==0

6 叉乘

  叉乘只在三维欧几里得空间有定义,等于是一维、二维、四维或其他维度是没有外积的。三维比较特殊哈,外积的定义如下:
x × y = ( x 2 y 3 − x 3 y 2 x 3 y 1 − x 1 y 3 x 1 y 2 − x 2 y 1 ) xtimes y=begin{pmatrix}x_2y_3-x_3y_2\x_3y_1-x_1y_3\x_1y_2-x_2y_1end{pmatrix} x×y= x2y3x3y2x3y1x1y3x1y2x2y1
  两个向量围成的平行四边形parallelogram的面积,就是两个向量叉乘后的模长,公式如下:
a = ∣ x × y ∣ a=|xtimes y| a=x×y
  我举个例子,虽然是个二维的例子,但是二维可以表示为第三维为0.
在这里插入图片描述
  很容易看出,这个平行四边形的面积是5,那我们验证下:
x = ( 1 3 0 ) , y = ( 2 1 0 ) x × y = ( 3 × 0 − 0 × 1 0 × 2 − 1 × 0 1 × 1 − 3 × 2 ) = ( 0 0 − 5 ) ∣ x × y ∣ = 5 x=begin{pmatrix}1\3\0end{pmatrix}, y=begin{pmatrix}2\1\0end{pmatrix}\ xtimes y = begin{pmatrix}3times 0-0times 1\0times 2-1times 0\1times 1-3times 2end{pmatrix}= begin{pmatrix}0\0\-5end{pmatrix}\ |xtimes y|=5 x= 130 ,y= 210 x×y= 3×00×10×21×01×13×2 = 005 x×y=5
  验证无误啊。当然二维的面积其实用两个向量拼成一个矩阵,求它的行列式的绝对值就可以了。

7 平行四边形法则

  欧几里得空间里的向量加法,满足平行四边形法则,这个我们小时候在做物理题,力的合成,就是平行四边形法则。举个例子:
在这里插入图片描述
  上图就是向量的加法:
x = ( 1 2 ) , y = ( 2 1 ) x + y = ( 3 3 ) x=begin{pmatrix}1\2end{pmatrix}, y=begin{pmatrix}2\1end{pmatrix}\ x+y=begin{pmatrix}3\3end{pmatrix}\ x=(12),y=(21)x+y=(33)

8 欧几里得运动

  欧几里得运动Euclidean motion,实际上是一个映射,等价为先线性变换再做加法。也就是说有一个欧几里得运动T,它作用于一个向量的效果是 T ( x ) T(x) T(x)等价于 A x + b Ax+b Ax+b。这就是著名的欧几里得运动公式:
T ( x ) = A x + b T(x)=Ax+b T(x)=Ax+b
  仅仅这样还不算一个欧几里得运动,欧几里得运动必须保证变换后距离不变,也就是:
∣ T ( x ) − T ( y ) ∣ = ∣ x − y ∣ |T(x)-T(y)|=|x-y| T(x)T(y)=xy
  什么意思呢?也就是先做旋转拉伸变换再平移。我们知道平移是不会改变两个点变换后的距离的,所以公式中的 A x + b Ax+b Ax+b b b b不需要考虑。唯一考虑的就是 A A A,事实上,数学家们早就证明了,一个变换是欧几里得运动的充分必要条件是 A A A为正交矩阵。需要注意的是欧几里得运动不是线性变换,不是所有映射都是线性变换的。举个例子,下面的变换就是欧几里得运动:
T ( x ) = x + b T(x)=x+b T(x)=x+b
  正交阵的条件是 A T A = A A T = E A^TA=AA^T=E ATA=AAT=E, E E E是单位矩阵。其实欧几里得运动就是说线性变换A如果是正交矩阵则不会改变向量之间的距离。

最后

以上就是阳光草丛为你收集整理的8.3 几何空间1 欧几里得范数2 距离3 标准内积5 夹角与正交6 叉乘7 平行四边形法则8 欧几里得运动的全部内容,希望文章能够帮你解决8.3 几何空间1 欧几里得范数2 距离3 标准内积5 夹角与正交6 叉乘7 平行四边形法则8 欧几里得运动所遇到的程序开发问题。

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