动态规划的图像压缩问题

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我是靠谱客的博主聪明小虾米，最近开发中收集的这篇文章主要介绍动态规划的图像压缩问题，觉得挺不错的，现在分享给大家，希望可以做个参考。

概述

动态规划的图像压缩问题

- - 2022.5.15
  - - 动态规划的图像压缩问题
    - - 问题描述（参照算法设计与分析教材）
      - 举例
      - 动态规划解决问题

2022.5.15

动态规划的图像压缩问题

问题描述（参照算法设计与分析教材）

计算机中的图像由一系列像点构成，每个像点称为一个像素，图像分辨率越高，使用的像素就越多，例如Windows桌面的图片经常使用的设置是1024×768个，大概达到106量级.图像传输和视频处理有时在1秒钟内要处理几十帧图片，这些图片的像素就很可观了，因此图像处理常常需要大量的存储空间和高的处理速度，图像压缩问题就成了计算机科学技术中的重要研究课题之一.

以黑白图像的处理来说明图像压缩中的问题.每幅黑白图像由像点构成，每个像点具有灰度值，用0~255之间的整数表示.如果每个整数都用相同的二进制位来表示，那么需要用8个二进制位.假设一幅图像有n个像素，那么这n个像素的灰度值构成一个整数序列:P = <p1,p2,…,pn>

其中p表示第i个像素的灰度.存储这幅图片时，可以像数组一样连续把这些整数存起来，共需要8n个二进制位.

下面考虑一种图像压缩方法.一般来说，在一幅图片中许多连续区域中像点的灰度值是接近的.比如有些交通标志图片，大片的区域是白的，可能少量区域有颜色，而且是比较单调的颜色.对这样的图片是否可以采用分段存储的方法：对灰度值较小的段的像素采用比较少的位数，比如2位；对灰度值较大的段的像素采用较多的位数，比如8位，这样就可能减少空间的占用.这就是变位压缩技术的基本想法.这种技术节省了空间，但在读取图像时带来了新的问题.在每个像素8位的存储方法中，读取图像时每8位就是一个像素的灰度值，不会出错.但是对于分段压缩的图像，看起来就是一个长长的0-1序列.当读取这个序列时，怎么知道每段的划分位置及每段像素占用的二进制位数呢？这里需要对段的划分和段中像素使用的二进制位数（要求同一段内不同像素用的存储位数都一样）给出明确的信息.为此，我们对每个段给出两个整数值，一个表示该段含有的像素个数，一个表示每个像素所占用的二进制位数.
比如第i段，有l[i]个像素，每个像素用b[i]位.由于某些技术要求，规定每段像素总数不超过256，即l[i]≤256.于是可以用8位来表示l[i]（8位二进制数恰好有256个值）.此外，由于每个灰度值在0~255之间，表达每个灰度值所用二进制数的位数b[i]不超过8，于是记录b[i]还需要3个二进制位.对每段来说，这额外的11位作为段头信息.从直觉上来说，分段越多，每段内部像素所占用的位数会减少，但过多的段头会消耗较多的二进制位.相反，分段越少，段内像素的空间消耗会增加，但是段头消耗少.

总结：

基本思路：对这样的图片是否可以采用分段存储的方法：对灰度值较小的段的像素采用比较少的位数，比如2位；对灰度值较大的段的像素采用较多的位数，比如8位，这样就可能减少空间的占用.这就是变位压缩技术的基本想法
具体实现：对每个段给出两个整数值，一个表示该段含有的像素个数，一个表示每个像素所占用的二进制位数.比如第i段，有l[i]个像素，每个像素用b[i]位.
特点：分段越多，每段内部像素所占用的位数会减少，但过多的段头会消耗较多的二进制位.相反，分段越少，段内像素的空间消耗会增加，但是段头消耗少.

举例

请看下面的例子.设输入的灰度值序列是：

P =<10,12,15,255,1,2,1,1,2,2,1,1>

分法1 S1= <10，12，15>，S2 =<255>，S3=<1，2，1，1，2，2，1，1>

分法2 S1=<10，12，15，255，1，2，1，1，2，2，1，1>

分法3 S1=<10>，S2=<12>，S3=<15>，S4=<255>，S5=<1>，S6=<2>，S7=<1>，S8=<1>，S9=<2>，S10=<2>，S11=<1>，S12=<1>

分法1有3段，第1段3个像素，每个像素用4位；第2段1个像素，每个像素用8位；第3段8个像素，每个像素用2位；加上3个段头，每个段头11位，总计位数是：（一个像素值取值范围0-255，最多用8位二进制数可以表示）
4×3+8×1+2×8+3×11=69

分法2有1段，12个像素，每个像素用8位，段头11位，总计位数是：
8×12+11=107

分法3有12段，前3段的像素用4位，第4段像素用8位，后面有5段像素用1位，3段像素用2位，还有12个段头，每个11位，总计位数是：
4×3+8×1+1×5+2×3+11×12=163

看起来分法1占用的位数最少.我们的问题是寻找存储位数最少的分段方法.

动态规划解决问题

问题一：

子问题的划分边界问题：设像素序列x1,x2,x3,。先把它分为两段,尾段和前段。我们假设尾端是没有分割的。并且前段是已经被分割成了最优解。则我们只需要遍历尾段的长度，就可以得到整个序列的最优解。也就是

假设最后一段只有一个元素x3,用x3的长度+一个段头+min(x1,x2)

假设尾段（X2,x3）,加上min（x1）；

这两个结果比较，就可以拿到最小值

而min（x1,x2）就是子问题

所以递推公式是

dp[i] = dp[i - j] + j x log（max(Pi-j+1,…,Pi)） + 11

log2max(Pi-j+1,…,Pi)是在不分割的情况下，存储序列所需要的最大值。

动态规划五部曲：

确定dp数组（dp table）以及下标的含义：d[i]=j,表示前i个像素值存储所需要的最小空间是j
确定递推公式：dp[i] = dp[i - j] + j x log（max(Pi-j+1,…,Pi)） + 11
dp数组如何初始化:s[0]=0
确定遍历顺序:从前向后遍历
举例推导dp数组

代码：

使用10,12,15,255,1,2序列测试

输出结果：57

    /**
     *
     * @param dots:二进制序列
     * @return
     */
    public static int optimalBits(int[] dots){
        int n= dots.length;
        int[] s=new int[n+1];
        s[0]=0;
        for(int i=1;i<=n;i++){
            s[i] = s[i-1]+minBit(dots[i-1])+11;
            for(int j=1;j<=i;j++){
                //本次划分使用的内存值
               int Lmin=s[i-j]+j*(minBit(maxNumber(dots,i-j+1,i)))+11;
               if(Lmin<s[i]){
                   s[i]=Lmin;
               }
            }
        }
        //返回s数组最后一个值
        return s[s.length-1];
    }
    private static int maxNumber(int[] dots, int start, int end){
        int[] copy =  Arrays.copyOfRange(dots,start -1,end);
        Arrays.sort(copy);
        return copy[copy.length -1];
    }
    /**
     * 求解数字number所需要的最小二进制位数
     * @param number
     * @return
     */
    private static int minBit(int number){
        int min = 0;
        //最多8位
        for(int i = 1; i <= 8; i++){
            if(Math.pow(2,i-1) - 1 <= number && Math.pow(2,i) - 1 >= number){
                min = i;
                break;
            }
        }
        return min;
    }
    public static void main(String[] args){
        int[] text=new int[]{10,12,15,255,1,2};
        System.out.println(optimalBits(text));
    }