1 信息熵

  一条信息的信息量的多少，在直观上我们认为是和内容的多少有关，科学一点讲就是与不确定性有关，信息的不确定性越强，携带的信息量就越多。如果对于一件事一无所知，则这件事对于我们而言就具有极大的信息量，反之信息就极少。我们考虑以下一个问题：

• 在2014年的世界杯，32支球队参加了决赛，如果我们没有看世界杯，朋友也不直接告诉我们谁嬴得了冠军，通过猜的方式，我们需要几次才可以得到正确答案？（假设是7号得到冠军）

在最差的情况下，我们需要猜测五次。
1.冠军在1-16号球队? yes
2. 冠军在1-8号球队？ yes
3. 冠军在1-4号球队？ no
4. 冠军在5-6号球队？no
5. 冠军在7号球队？yes

  所以对于谁是冠军这条信息而言，他的信息量为5，在信息里面，单位是比特（Bit)。如果是64只球队，那我们就需要多猜一次，需要6次得到答案，我们发现了信息的多少取决于log函数。
$$lo{g}_{2}32=5,lo{g}_{2}64=6$$

  当然这是最差的情况下，我们需要5次才能猜出，在实际生活中，如果我们知道里面有巴西，德国等等强队，我们可能只需要3-4次就可以猜出来。这是因为引入了我们的先验知识，即各个球队夺冠的概率。记为$P_i$。所以香农基于此提出了准确的信息量的度量——信息熵。
$$H(X)=-\sum p_{i}log(p_i)$$
  当所有球队的获胜概率一样时，信息量最大，不确定性越大，即最难猜出来。

2 条件熵

  一直以来，信息和不确定性是联系在一起的，而信息和情报的英文表示都是information，情报是为了消除消息的不确定性，比如战争上的一句话的情报都可以改变战场。

  一个事物X本身具有不确定性，记作U，为了消除这种不确定性，我们从外部引入信息I，当引入的信息I>U的时候，就可以事物的不确定性。当I<U时，就消除一部分的不确定性，得到新的不确定性$U^{\prime }=U-I$。

  假设X，Y时两个随机变量，对于信息X，他的信息熵已经固定。随后我们知道了外部信息Y的情况，定义条件熵（conditional entropy）为：Y条件下X的条件概率分布的熵对Y的数学期望：

$$\begin{array}{rl}H(X|Y)=& \sum _{y}p(y)H(X|Y=y)\\ 进一步推导：=& -\sum _{y}p(y)\sum _{x}p(x|y)log(p(x|y))\\ =& -\sum _y\sum _{x}p(x,y)log(p(x|y))\\ =& -\sum _{x,y}p(x,y)logP(x|y)\end{array}$$

另一个角度，$H(X|Y)=H(X,Y)-H(Y)$

$$\begin{array}{rl}& H(X,Y)-H(Y)\\ & =-\sum _{x,y}p(x,y)\log p(x,y)+\sum _{y}p(y)\log p(y)\\ & =-\sum _{x,y}p(x,y)\log p(x,y)+\sum _y\left(\sum _{x}p(x,y)\right)\log p(y)\\ & =-\sum _{x,y}p(x,y)\log p(x,y)+\sum _{x,y}p(x,y)\log p(y)\\ & =-\sum _{x,y}p(x,y)\log \frac{p(x,y)}{p(y)}\\ & =-\sum _{x,y}p(x,y)\log p(x\mid y)\end{array}$$

  可以证明得到H(X)>=H(X|Y),也就是说，引入了信息Y之后，X的信息熵变小了，即X的不确定性变小了。如果当X和Y完全没有任何关系的时候，等号依旧成立，说明引入外部信息Y没有丝毫意义。

总结：信息的作用在于消除不确定性，NLP问题就是寻找相关的信息。

3 互信息

  在条件熵中我们发现了相关的信息可以消除不确定性，所以需要一个度量“相关性”的变量。也就是下文的互信息。定义：
$$I(X;Y)=\sum _{x,y}P(x,y)log\frac{P(x,y)}{P(x)P(y)}$$
即是： $$I(X;Y)=H(X)-H(X|Y)$$
当x和y完全不相关时，$I(X;Y)=0$

  互信息用来度量两个事件的相关性后，用在了NLP机器翻译问题中，在机器翻译中，最难解决的问题之一就是词的歧义性，比如Bush既是“布什总统”的名字，也是“灌木丛”，产生了歧义，在机器翻译中，可以通过互信息，如果Bush和白宫，总统，美国等词出现了较高的互信息，就翻译为布什；如果和草地，地面，植物等词有较高的互信息，就翻译为灌木丛。这是20世纪90年代宾夕法尼亚大学的雅让斯基博士生提出的解决方法，也让他三年就拿到了博士学位。

4 相对熵（KL散度）

  相对熵也用来衡量相关性，和互信息不同的是，它用来衡量取值为正数的相似性。
$$KL(f(x)||g(x))=\sum _{x}f(x)\cdot log\frac{f(x)}{g(x)}$$

  我们不必关注公式的本身，只需要记住下面三条结论即可：

1. 对于完全相同的函数，相对熵为0
2. 相对熵越大，两个函数之间的差异越大，反之成立。
3. 对于概率分布或者概率密度函数，取值均>0时，相对熵可以度量两个随机分布的差异性。

  此外，相对熵并不是对称的：$$KL(f(x)||g(x))\ne KL(g(x)||f(x))$$

  为了对称，詹森和香农提出了新的计算公式：
$$JS(f(x)||g(x))=\frac{1}{2}[KL(f(x)||g(x))+KL(g(x)||f(x))]$$

5 交叉熵

对相对熵的公式进行变形：

进一步得到交叉熵的公式：
$$H(p,q)=-\sum plog(q)$$

可以衡量两个概率分布p.q之间的相似程度，交叉熵越小，两个概率分布就越接近，所以可以当作分类问题的损失函数。

最后

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