傅里叶变换

一、傅里叶级数

傅里叶级数是通过三角函数和常数项来叠加逼近周期为T的函数f(x)

1、定义

一个以T为周期的函数$f_T(x)$，如果在$[\frac{-T}{2},\frac{T}{2}]$上满足狄利克雷条件，即在$[\frac{-T}{2},\frac{T}{2}]$上满足：1.$f_T(x)$连续或只有有限个第一类间断点；2.只有有限个极值点。那么在$[\frac{-T}{2},\frac{T}{2}]$上可写成傅里叶级数：
$$f_T(t)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}cosn{\omega }_{0}t+b_{n}sinn{\omega }_{0}t)\text{\hspace{1em}(1.1)}$$
其中${\omega }_0=\frac{2\pi }{T}$,$a_0=\frac{2}{T}{\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}{f}_T(t)dt$

$a_n=\frac{2}{T}{\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}{f}_T(t)cosn{\omega }_{0}tdt,(n=1,2,3,\cdots )$

$b_n=\frac{2}{T}{\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}{f}_T(t)sinn{\omega }_{0}tdt,(n=1,2,3,\cdots )$

第一类间断点：①左右极限相等，但不等于该点的函数值$f(x_0)$或者该点无意义。此时称为可去间断点。②左右极限在该点不相等，此时称为跳跃间断点。

2、变形

利用Euler公式：$cost=\frac{1}{2}(e^{jt}+e^{-jt}),sint=\frac{1}{2}(e^{jt}-e^{-jt})$

则（1.1）可以变形为：
$$\begin{array}{c}{f}_T(t)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }(\frac{a_n-j{b}_n}{2}{e}^{jn{\omega }_{0}t}+\frac{a_n+j{b}_n}{2}{e}^{-jn{\omega }_{0}t})\end{array}\text{\hspace{1em}(1.2)}$$
令
$$\begin{gathered} C_0=\frac{a_0}{2}={\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}{f}_T(t)dt \\ {C}_n=\frac{a_n-j{b}_n}{2}=\frac{1}{T}[{\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}{f}_T(t)cosn{\omega }_{0}tdt-j{\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}{f}_T(t)sinn{\omega }_{0}tdt]=\frac{1}{T}{\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}{f}_T(t)e^{-jn{\omega }_{0}t}dt(n=1,2,3,\cdots ) \\ {C}_{-n}=\frac{a_n+j{b}_n}{2}=\frac{1}{T}{\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}{f}_T(t)e^{jn{\omega }_{0}t}dt(n=1,2,3,\cdots ) \end{gathered}$$
则$C_n=\frac{1}{T}{\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}{f}_T(t)e^{-jn{\omega }_{0}t}dt(n=\pm 1,\pm 2,\pm 3,\cdots )$

则(1.2)可写为：
$$f_T(t)=C_0+\sum _{n=1}^{\infty }(C_n{e}^{jn{\omega }_{0}t}+C_{-n}{e}^{-jn{\omega }_{0}t})=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }{C}_n{e}^{jn{\omega }_{0}t}=\frac{1}{T}\sum _{n=-\infty }^{+\infty }[{\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}{f}_T(\tau )e^{-jn{\omega }_0\tau }d\tau ]e^{jn{\omega }_{0}t}\text{\hspace{1em}(1.3)}$$
由于$C_n$可以看出仅与$n{\omega }_0$有关，因此可以将$C_n$记为$C_n=F(n{\omega }_0)$

那么
$$\begin{array}{c}{f}_T(t)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }{C}_n{e}^{jn{\omega }_{0}t}=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }F(n{\omega }_0{)}^{jn{\omega }_{0}t}\end{array}\text{\hspace{1em}(1.4)}$$
(1.4)式说明以T为周期的振动$f_T(t)$是简谐振动$F(n{\omega }_{0}t)e^{jn{\omega }_{0}t}(n=0,\pm 1,\pm 2,\cdots )$叠加产生的运动，其中${\omega }_0$为基频，$F(n{\omega }_0)$为$f_T(t)$的离散频谱，$|F(n{\omega }_0)|$为离散幅谱。

二、从傅里叶级数到傅里叶变换

1、傅里叶积分公式

傅里叶级数针对的对象是周期函数，然而对于非周期函数，我们可以这样看待：任意一个非周期函数$f(t)$可以看成当周期函数$f_T(t)$的周期T趋向于无穷时的情况，即${\lim }_{T\to +\infty }{f}_T(t)=f(t)$

通过推导（在此省略）可以有$f(t)$的傅里叶积分公式：
$$\begin{array}{c}f(t)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }[{\int }_{-\infty }^{+\infty }f(\tau )e^{-j\omega \tau }d\tau ]e^{j\omega t}d\omega \end{array}\text{\hspace{1em}(1.5)}$$

2、傅里叶积分定理

若$f(t)$在$(-\infty ,+\infty )$上满足如下条件：

（1）$f(t)$在任一有限区间上满足狄利克雷条件；

（2）$f(t)$在无限区间$(-\infty ,+\infty )$上绝对可积（即积分${\int }_{-\infty }^{+\infty }|f(t)|dt$收敛），则有(1.5)式成立，而在$f(t)$的间断点处，(1.5)式左端应为$\frac{f(t+0)+f(t-0)}{2}$。

3、傅里叶变换的概念

令$F(\omega )={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(t)e^{-j\omega t}dt$; $f(t)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }F(\omega )e^{j\omega t}d\omega$

则(1.5)式为傅里叶变换，$F(\omega )$为$f(t)$的像函数，记为$F(\omega )=\Gamma [f(t)];$

$f(t)$为$F(\omega )$的像原函数，记为$f(t)={\Gamma }^{-1}[F(\omega )]$

4、傅里叶变换的性质

（1）线性性质

$\Gamma [\alpha f_1(t)+\beta f_2(t)]=\alpha \Gamma [f_1(t)]+\beta \Gamma [f_2(t)]=\alpha F_1(\omega )+\beta F_2(\omega )$

${\Gamma }^{-1}[\alpha F_1(\omega )+\beta F_2(\omega )]=\alpha f_1(t)+\beta f_2(t)$

（2）位移性质

$\Gamma [f(t\pm t_0)]=e^{\pm j\omega t_0}\Gamma [f(t)]$

${\Gamma }^{-1}[F(\omega \mp {\omega }_0)]=e^{\pm j{\omega }_{0}t}f(t)$

说明：①时间函数$f(t)$沿$t$轴向左或向右位移$t_0$后进行傅里叶变换等于$f(t)$的傅里叶变换乘以因子$e^{\omega t_{0}j}$或$e^{-\omega t_{0}j}$
②物理意义：当一个信号沿时间轴移动后，它的各频率成分的大小不变，但相位发生变化

（3）相似性质

$\Gamma [f(kt)]=\frac{1}{|k|}F(\frac{\omega }{k})$, ${\Gamma }^{-1}[F(k\omega )]=\frac{1}{|k|}f(\frac{t}{k})$ 其中k为非零实数

说明：对时间轴进行拉伸时，频谱也会相应进行拉伸，表现为相似性质

（4）微分性质

如果当$|t|\to \infty$时，$f(t)\to 0$，则$\Gamma [f^{\prime }(t)]=j\omega \Gamma [f(t)]$

推论：若${\lim }_{|t|\to \infty }{f}^{(k)}=0,k=0,1,2,\cdots ,n-1$

则有：$\Gamma [f^n(t)]=(j\omega {)}^n\Gamma [f(t)]$

$\frac{d^n}{d{\omega }^n}F(\omega )=(-j{)}^n\Gamma [t^{n}f(t)]$

（5）积分性质

$t\to +\infty$时，${\int }_{-\infty }^{t}f(t)dt\to 0$，则$\Gamma [{\int }_{-\infty }^{t}f(t)dt]=\frac{1}{j\omega }\Gamma [f(t)]$

（6）乘积定理

若$F_1(\omega )=\Gamma [f_1(t)],F_2(\omega )=\Gamma [f_2(t)]$，则

${\int }_{-\infty }^{+\infty }{f}_1(t)f_2(t)dt=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }{F}_1(\omega )\overline{F_2(\omega )}d\omega =\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }{F}_2(\omega )\overline{F_1(\omega )}d\omega$

其中$f_1(t),f_2(t)$为$t$的实函数，而$\overline{F_1(\omega )},\overline{F_2(\omega )}$分别为$F_1(\omega ),F_2(\omega )$的共轭函数。

（7）卷积与相关函数

设函数$f_1(t)$与$f_2(t)$在$(-\infty ,+\infty )$内有定义，若广义积分${\int }_{-\infty }^{+\infty }{f}_1(\tau )f_2(t-\tau )d\tau$对任何实数$t$收敛，则它在$(-\infty ,+\infty )$上定义了一个自变量为$t$的函数，记为：$f_1(t)\ast f_2(t)={\int }_{-\infty }^{+\infty }{f}_1(\tau )f_2(t-\tau )d\tau$，且有如下成立：

①$|f_1(t)\ast f_2(t)|⩽\Vert f_1(t)|\ast |f_2(t)|$

②$f_1(t)\ast f_2(t)=f_2(t)\ast f_1(t)$

③$f_1(t)\ast [f_2(t)\ast f_3(t)]=[f_1(t)\ast f_2(t)]\ast f_3(t)$

④$f_1(t)\ast [f_2(t)+f_3(t)]=f_1(t)\ast f_2(t)+f_1(t)\ast f_3(t)$

（8）卷积定理

假定$f_1(t)$和$f_2(t)$都满足傅里叶积分定理中的条件，且$\Gamma [f_1(t)]=F_1(\omega ),\Gamma [f_2(t)]=F_2(\omega )$，则有

$\Gamma [f_1(t)\ast f_2(t)]=F_1(\omega )\cdot F_2(\omega )$，或${\Gamma }^{-1}[F_1(\omega )\cdot F_2(\omega )]=f_1(t)\ast f_2(t)$

同理可得$\Gamma [f_1(t)\cdot f_2(t)]=\frac{1}{2\pi }{F}_1(\omega )\ast F_2(\omega )$

最后

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